home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Software Vault: The Diamond Collection / The Diamond Collection (Software Vault)(Digital Impact).ISO / cdr44 / frasrc19.zip / HELP2.SRC < prev    next >
Text File  |  1995-02-15  |  126KB  |  2,876 lines
  1. ~Topic=Summary of Fractal Types, Label=HELPFRACTALS
  2. ~Format-
  3. ~Doc-
  4. For detailed descriptions, select a hot-link below, see {Fractal Types},
  5. or use <F2> from the fractal type selection screen.
  6. ~Doc+,Online-
  7. SUMMARY OF FRACTAL TYPES
  8. ~Online+
  9. ~CompressSpaces-
  10. ;
  11. ; Note that prompts.c pulls formulas out of the following for <Z> screen,
  12. ; using the HF_xxx labels.  It assumes a rigid formatting structure for
  13. ; the formulas:
  14. ;    4 leading blanks (which get stripped on <Z> screen)
  15. ;    lines no wider than 76 characters (not counting initial 4 spaces)
  16. ;    formula ends at any of:
  17. ;    blank line
  18. ;    line which begins in column 1
  19. ;    format ctl char (~xxx, {xxx}, \x)
  20. ;
  21.  
  22. {=HT_ANT ant}
  23. ~Label=HF_ANT
  24.     Generalized Ant Automaton as described in the July 1994 Scientific
  25.     American. An ant wanders around the screen. A rule string (the first 
  26.     parameter) determines the ant's direction. When the ant leaves a cell of 
  27.     color k, it turns right if the kth symbol in the first parameter is a 1, 
  28.     or left otherwise. Then the color in the abandoned cell is incremented. 
  29.     The 2nd parameter is a maximum iteration to guarantee that the fractal 
  30.     will terminate. Also terminates if the edge is reached. You can slow down
  31.     the ant to see her better using the <x> screen Orbit Delay - try 10.
  32.  
  33. {=HT_BARNS barnsleyj1}
  34. ~Label=HF_BARNSJ1
  35.       z(0) = pixel;
  36.       z(n+1) = (z-1)*c if real(z) >= 0, else
  37.       z(n+1) = (z+1)*c
  38.     Two parameters: real and imaginary parts of c
  39. ~OnlineFF
  40. {=HT_BARNS barnsleyj2}
  41. ~Label=HF_BARNSJ2
  42.       z(0) = pixel;
  43.       if real(z(n)) * imag(c) + real(c) * imag(z((n)) >= 0
  44.      z(n+1) = (z(n)-1)*c
  45.       else
  46.      z(n+1) = (z(n)+1)*c
  47.     Two parameters: real and imaginary parts of c
  48. {=HT_BARNS barnsleyj3}
  49. ~Label=HF_BARNSJ3
  50.       z(0) = pixel;
  51.       if real(z(n) > 0 then z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1)
  52.      + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n))) else
  53.       z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1 + real(c) * real(z(n))
  54.          + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)) + imag(c) * real(z(n))
  55.     Two parameters: real and imaginary parts of c.
  56. {=HT_BARNS barnsleym1}
  57. ~Label=HF_BARNSM1
  58.       z(0) = c = pixel;
  59.       if real(z) >= 0 then
  60.     z(n+1) = (z-1)*c
  61.       else
  62.     z(n+1) = (z+1)*c.
  63.     Parameters are perturbations of z(0)
  64. ~OnlineFF
  65. {=HT_BARNS barnsleym2}
  66. ~Label=HF_BARNSM2
  67.       z(0) = c = pixel;
  68.       if real(z)*imag(c) + real(c)*imag(z) >= 0
  69.     z(n+1) = (z-1)*c
  70.       else
  71.     z(n+1) = (z+1)*c
  72.     Parameters are perturbations of z(0)
  73.  
  74. {=HT_BARNS barnsleym3}
  75. ~Label=HF_BARNSM3
  76.       z(0) = c = pixel;
  77.       if real(z(n) > 0 then z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1)
  78.      + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n))) else
  79.       z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1 + real(c) * real(z(n))
  80.      + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)) + imag(c) * real(z(n))
  81.     Parameters are perturbations of z(0)
  82.  
  83. {=HT_BIF bifurcation}
  84. ~Label=HF_BIFURCATION
  85.     Pictorial representation of a population growth model.
  86.       Let P = new population, p = oldpopulation, r = growth rate
  87.       The model is: P = p + r*fn(p)*(1-fn(p)).
  88.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  89.  
  90. ~OnlineFF
  91. {=HT_BIF bif+sinpi}
  92. ~Label=HF_BIFPLUSSINPI
  93.     Bifurcation variation: model is: P = p + r*fn(PI*p).
  94.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  95.  
  96. {=HT_BIF bif=sinpi}
  97. ~Label=HF_BIFEQSINPI
  98.     Bifurcation variation: model is: P = r*fn(PI*p).
  99.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  100.  
  101. {=HT_BIF biflambda}
  102. ~Label=HF_BIFLAMBDA
  103.     Bifurcation variation: model is: P = r*fn(p)*(1-fn(p)).
  104.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  105.  
  106. {=HT_BIF bifstewart}
  107. ~Label=HF_BIFSTEWART
  108.     Bifurcation variation: model is: P = (r*fn(p)*fn(p)) - 1.
  109.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Function.
  110.  
  111. {=HT_BIF bifmay}
  112. ~Label=HF_BIFMAY
  113.     Bifurcation variation: model is: P = r*p / ((1+p)^beta).
  114.     Three parameters: Filter Cycles, Seed Population, and Beta.
  115.  
  116. ~OnlineFF
  117. {=HT_CELLULAR cellular}
  118. ~Label=HF_CELLULAR
  119.     One-dimensional cellular automata or line automata.  The type of CA
  120.     is given by kr, where k is the number of different states of the
  121.     automata and r is the radius of the neighborhood.  The next generation
  122.     is determined by the sum of the neighborhood and the specified rule.
  123.     Four parameters: Initial String, Rule, Type, and Starting Row Number.
  124.     For Type = 21, 31, 41, 51, 61, 22, 32, 42, 23, 33, 24, 25, 26, 27
  125.         Rule =  4,  7, 10, 13, 16,  6, 11, 16,  8, 15, 10, 12, 14, 16 digits
  126. {=HT_MARTIN chip}
  127. ~Label=HF_CHIP
  128.     Chip attractor from Michael Peters - orbit in two dimensions.
  129.       z(0) = y(0) = 0;
  130.       x(n+1) = y(n) - sign(x(n)) * cos(sqr(ln(abs(b*x(n)-c))))        
  131.                                  * arctan(sqr(ln(abs(c*x(n)-b))))
  132.       y(n+1) = a - x(n)
  133.     Parameters are a, b, and c.
  134. {=HT_CIRCLE circle}
  135. ~Label=HF_CIRCLE
  136.     Circle pattern by John Connett
  137.       x + iy = pixel
  138.       z = a*(x^2 + y^2)
  139.       c = integer part of z
  140.       color = c modulo(number of colors)
  141. ~OnlineFF
  142. {=HT_MARKS cmplxmarksjul}
  143. ~Label=HF_CMPLXMARKSJUL
  144.     A generalization of the marksjulia fractal.
  145.       z(0) = pixel;
  146.       z(n+1) = (c^exp-1)*z(n)^2 + c.
  147.     Four parameters: real and imaginary parts of c,
  148.     and real and imaginary parts of exponent.
  149. {=HT_MARKS cmplxmarksmand}
  150. ~Label=HF_CMPLXMARKSMAND
  151.     A generalization of the marksmandel fractal.
  152.       z(0) = c = pixel;
  153.       z(n+1) = (c^exp-1)*z(n)^2 + c.
  154.     Four parameters: real and imaginary parts of perturbation
  155.     of z(0), and real and imaginary parts of exponent.
  156.  
  157. {=HT_NEWTCMPLX complexnewton\, complexbasin}
  158. ~Label=HF_COMPLEXNEWT
  159.     Newton fractal types extended to complex degrees. Complexnewton
  160.     colors pixels according to the number of iterations required to
  161.     escape to a root. Complexbasin colors pixels according to which
  162.     root captures the orbit. The equation is based on the newton
  163.     formula for solving the equation z^p = r
  164.       z(0) = pixel;
  165.       z(n+1) = ((p - 1) * z(n)^p + r)/(p * z(n)^(p - 1)).
  166.     Four parameters: real & imaginary parts of degree p and root r.
  167.  
  168. {=HT_DIFFUS diffusion}
  169. ~Label=HF_DIFFUS
  170.     Diffusion Limited Aggregation.  Randomly moving points
  171.     accumulate.  Two parameters: border width (default 10), type.
  172.  
  173. {=HT_DYNAM dynamic}
  174. ~Label=HF_DYNAM
  175.     Time-discrete dynamic system.
  176.       x(0) = y(0) = start position.
  177.       y(n+1) = y(n) + f( x(n) )
  178.       x(n+1) = x(n) - f( y(n) )
  179.       f(k) = sin(k + a*fn1(b*k))
  180.     For implicit Euler approximation: x(n+1) = x(n) - f( y(n+1) )
  181.     Five parameters: start position step, dt, a, b, and the function fn1.
  182.  
  183. {=HT_SCOTSKIN fn(z)+fn(pix)}
  184. ~Label=HF_FNPLUSFNPIX
  185.       c = z(0) = pixel;
  186.       z(n+1) = fn1(z) + p*fn2(c)
  187.     Six parameters: real and imaginary parts of the perturbation
  188.     of z(0) and factor p, and the functions fn1, and fn2.
  189. {=HT_SCOTSKIN fn(z*z)}
  190. ~Label=HF_FNZTIMESZ
  191.       z(0) = pixel;
  192.       z(n+1) = fn(z(n)*z(n))
  193.     One parameter: the function fn.
  194. ~OnlineFF
  195.  
  196. {=HT_SCOTSKIN fn*fn}
  197. ~Label=HF_FNTIMESFN
  198.       z(0) = pixel; z(n+1) = fn1(n)*fn2(n)
  199.     Two parameters: the functions fn1 and fn2.
  200.  
  201. {=HT_SCOTSKIN fn*z+z}
  202. ~Label=HF_FNXZPLUSZ
  203.       z(0) = pixel; z(n+1) = p1*fn(z(n))*z(n) + p2*z(n)
  204.     Five parameters: the real and imaginary components of
  205.     p1 and p2, and the function fn.
  206.  
  207. {=HT_SCOTSKIN fn+fn}
  208. ~Label=HF_FNPLUSFN
  209.       z(0) = pixel;
  210.       z(n+1) = p1*fn1(z(n))+p2*fn2(z(n))
  211.     Six parameters: The real and imaginary components of
  212.     p1 and p2, and the functions fn1 and fn2.
  213.  
  214. {=HT_FORMULA formula}
  215.     Formula interpreter - write your own formulas as text files!
  216. ~OnlineFF
  217.  
  218. {=HT_FROTH frothybasin}
  219. ~Label=HF_FROTH
  220.     Pixel color is determined by which attractor captures the orbit.  The
  221.     shade of color is determined by the number of iterations required to
  222.     capture the orbit.
  223.       Z(0) = pixel;  Z(n+1) = Z(n)^2 - C*conj(Z(n))
  224.       where C = 1 + A*i, critical value of A = 1.028713768218725...
  225.  
  226. {=HT_GINGER gingerbread}
  227. ~Label=HF_GINGER
  228.     Orbit in two dimensions defined by:
  229.       x(n+1) = 1 - y(n) + |x(n)|
  230.       y(n+1) = x(n)
  231.     Two parameters: initial values of x(0) and y(0).
  232.  
  233. {=HT_HALLEY halley}
  234. ~Label=HF_HALLEY
  235.       Halley map for the function: F = z(z^a - 1) = 0
  236.       z(0) = pixel;
  237.       z(n+1) = z(n) - R * F / [F' - (F" * F / 2 * F')]
  238.       bailout when: abs(mod(z(n+1)) - mod(z(n)) < epsilon
  239.     Four parameters: order a, real part of R, epsilon,
  240.        and imaginary part of R.
  241. ~OnlineFF
  242. {=HT_HENON henon}
  243. ~Label=HF_HENON
  244.     Orbit in two dimensions defined by:
  245.       x(n+1) = 1 + y(n) - a*x(n)*x(n)
  246.       y(n+1) = b*x(n)
  247.     Two parameters: a and b
  248.  
  249. {=HT_MARTIN hopalong}
  250. ~Label=HF_HOPALONG
  251.     Hopalong attractor by Barry Martin - orbit in two dimensions.
  252.       z(0) = y(0) = 0;
  253.       x(n+1) = y(n) - sign(x(n))*sqrt(abs(b*x(n)-c))
  254.       y(n+1) = a - x(n)
  255.     Parameters are a, b, and c.
  256.  
  257. {=HT_HYPERC hypercomplex}
  258. ~Label=HF_HYPERC
  259.     HyperComplex Mandelbrot set.
  260.       h(0)   = (0,0,0,0)
  261.       h(n+1) = fn(h(n)) + C.
  262.       where "fn" is sin, cos, log, sqr etc.
  263.     Two parameters: cj, ck
  264.     C = (xpixel,ypixel,cj,ck)
  265. ~OnlineFF
  266.  
  267. {=HT_HYPERC hypercomplexj}
  268. ~Label=HF_HYPERCJ
  269.     HyperComplex Julia set.
  270.       h(0)   = (xpixel,ypixel,zj,zk)
  271.       h(n+1) = fn(h(n)) + C.
  272.       where "fn" is sin, cos, log, sqr etc.
  273.     Six parameters: c1, ci, cj, ck
  274.     C = (c1,ci,cj,ck)
  275.  
  276. {=HT_ICON icon, icon3d}
  277. ~Label=HF_ICON
  278.     Orbit in three dimensions defined by:
  279.       p = lambda + alpha * magnitude + beta * (x(n)*zreal - y(n)*zimag)
  280.       x(n+1) = p * x(n) + gamma * zreal - omega * y(n)
  281.       y(n+1) = p * y(n) - gamma * zimag + omega * x(n)
  282.       (3D version uses magnitude for z)
  283.       Parameters:  Lambda, Alpha, Beta, Gamma, Omega, and Degree
  284.  
  285. {=HT_IFS IFS}
  286.     Barnsley IFS (Iterated Function System) fractals. Apply
  287.     contractive affine mappings.
  288. ~OnlineFF
  289.  
  290. {=HT_PICKMJ julfn+exp}
  291. ~Label=HF_JULFNPLUSEXP
  292.     A generalized Clifford Pickover fractal.
  293.       z(0) = pixel;
  294.       z(n+1) = fn(z(n)) + e^z(n) + c.
  295.     Three parameters: real & imaginary parts of c, and fn
  296.  
  297. {=HT_PICKMJ julfn+zsqrd}
  298. ~Label=HF_JULFNPLUSZSQRD
  299.       z(0) = pixel;
  300.       z(n+1) = fn(z(n)) + z(n)^2 + c
  301.     Three parameters: real & imaginary parts of c, and fn
  302.  
  303. {=HT_JULIA julia}
  304. ~Label=HF_JULIA
  305.     Classic Julia set fractal.
  306.       z(0) = pixel; z(n+1) = z(n)^2 + c.
  307.     Two parameters: real and imaginary parts of c.
  308. ~OnlineFF
  309.  
  310. {=HT_INVERSE julia_inverse}
  311. ~Label=HF_INVERSE
  312.     Inverse Julia function - "orbit" traces Julia set in two dimensions.
  313.       z(0) = a point on the Julia Set boundary; z(n+1) = +- sqrt(z(n) - c)
  314.     Parameters: Real and Imaginary parts of c
  315.            Maximum Hits per Pixel (similar to max iters)
  316.            Breadth First, Depth First or Random Walk Tree Traversal
  317.            Left or Right First Branching (in Depth First mode only)
  318.         Try each traversal method, keeping everything else the same.
  319.         Notice the differences in the way the image evolves.  Start with
  320.         a fairly low Maximum Hit limit, then increase it.  The hit limit
  321.         cannot be higher than the maximum colors in your video mode.
  322.  
  323. {=HT_FNORFN julia(fn||fn)}
  324. ~Label=HF_JULIAFNFN
  325.       z(0) = pixel;
  326.       if modulus(z(n)) < shift value, then
  327.          z(n+1) = fn1(z(n)) + c,
  328.       else
  329.          z(n+1) = fn2(z(n)) + c.
  330.     Five parameters: real, imaginary portions of c, shift value,
  331.                      fn1 and fn2.
  332. ~OnlineFF
  333.  
  334. {=HT_MANDJUL4 julia4}
  335. ~Label=HF_JULIA4
  336.     Fourth-power Julia set fractals, a special case
  337.     of julzpower kept for speed.
  338.       z(0) = pixel;
  339.       z(n+1) = z(n)^4 + c.
  340.     Two parameters: real and imaginary parts of c.
  341.  
  342. {=HT_JULIBROT julibrot}
  343.     'Julibrot' 4-dimensional fractals.
  344.  
  345. {=HT_PICKMJ julzpower}
  346. ~Label=HF_JULZPOWER
  347.       z(0) = pixel;
  348.       z(n+1) = z(n)^m + c.
  349.     Three parameters: real & imaginary parts of c, exponent m
  350.  
  351. {=HT_PICKMJ julzzpwr}
  352. ~Label=HF_JULZZPWR
  353.       z(0) = pixel;
  354.       z(n+1) = z(n)^z(n) + z(n)^m + c.
  355.     Three parameters: real & imaginary parts of c, exponent m
  356. ~OnlineFF
  357.  
  358. {=HT_KAM kamtorus, kamtorus3d}
  359. ~Label=HF_KAM
  360.     Series of orbits superimposed.
  361.     3d version has 'orbit' the z dimension.
  362.       x(0) = y(0) = orbit/3;
  363.       x(n+1) = x(n)*cos(a) + (x(n)*x(n)-y(n))*sin(a)
  364.       y(n+1) = x(n)*sin(a) - (x(n)*x(n)-y(n))*cos(a)
  365.     After each orbit, 'orbit' is incremented by a step size.
  366.     Parameters: a, step size, stop value for 'orbit', and
  367.     points per orbit.
  368.  
  369. {=HT_LAMBDA lambda}
  370. ~Label=HF_LAMBDA
  371.     Classic Lambda fractal. 'Julia' variant of Mandellambda.
  372.       z(0) = pixel;
  373.       z(n+1) = lambda*z(n)*(1 - z(n)).
  374.     Two parameters: real and imaginary parts of lambda.
  375.  
  376. {=HT_LAMBDAFN lambdafn}
  377. ~Label=HF_LAMBDAFN
  378.       z(0) = pixel;
  379.       z(n+1) = lambda * fn(z(n)).
  380.     Three parameters: real, imag portions of lambda, and fn
  381. ~OnlineFF
  382.  
  383. {=HT_FNORFN lambda(fn||fn)}
  384. ~Label=HF_LAMBDAFNFN
  385.       z(0) = pixel;
  386.       if modulus(z(n)) < shift value, then
  387.          z(n+1) = lambda * fn1(z(n)),
  388.       else
  389.          z(n+1) = lambda * fn2(z(n)).
  390.     Five parameters: real, imaginary portions of lambda, shift value,
  391.                      fn1 and fn2.
  392.  
  393. {=HT_LORENZ lorenz, lorenz3d}
  394. ~Label=HF_LORENZ
  395.     Lorenz two lobe attractor - orbit in three dimensions.
  396.     In 2d the x and y components are projected to form the image.
  397.       z(0) = y(0) = z(0) = 1;
  398.       x(n+1) = x(n) + (-a*x(n)*dt) + (     a*y(n)*dt)
  399.       y(n+1) = y(n) + ( b*x(n)*dt) - (       y(n)*dt) - (z(n)*x(n)*dt)
  400.       z(n+1) = z(n) + (-c*z(n)*dt) + (x(n)*y(n)*dt)
  401.     Parameters are dt, a, b, and c.
  402. ~OnlineFF
  403. {=HT_LORENZ lorenz3d1}
  404. ~Label=HF_LORENZ3D1
  405.     Lorenz one lobe attractor - orbit in three dimensions.
  406.     The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone.
  407.       z(0) = y(0) = z(0) = 1; norm = sqrt(x(n)^2 + y(n)^2)
  408.       x(n+1) = x(n) + (-a*dt-dt)*x(n) + (a*dt-b*dt)*y(n) 
  409.          + (dt-a*dt)*norm + y(n)*dt*z(n)
  410.       y(n+1) = y(n) + (b*dt-a*dt)*x(n) - (a*dt+dt)*y(n) 
  411.          + (b*dt+a*dt)*norm - x(n)*dt*z(n) - norm*z(n)*dt
  412.       z(n+1) = z(n) +(y(n)*dt/2) - c*dt*z(n)
  413.     Parameters are dt, a, b, and c.
  414. {=HT_LORENZ lorenz3d3}
  415. ~Label=HF_LORENZ3D3
  416.     Lorenz three lobe attractor - orbit in three dimensions.
  417.     The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone.
  418.       z(0) = y(0) = z(0) = 1; norm = sqrt(x(n)^2 + y(n)^2)
  419.       x(n+1) = x(n) +(-(a*dt+dt)*x(n) + (a*dt-b*dt+z(n)*dt)*y(n))/3 
  420.           + ((dt-a*dt)*(x(n)^2-y(n)^2) 
  421.           + 2*(b*dt+a*dt-z(n)*dt)*x(n)*y(n))/(3*norm)
  422.       y(n+1) = y(n) +((b*dt-a*dt-z(n)*dt)*x(n) - (a*dt+dt)*y(n))/3 
  423.           + (2*(a*dt-dt)*x(n)*y(n) 
  424.           + (b*dt+a*dt-z(n)*dt)*(x(n)^2-y(n)^2))/(3*norm)
  425.       z(n+1) = z(n) +(3*x(n)*dt*x(n)*y(n)-y(n)*dt*y(n)^2)/2 - c*dt*z(n)
  426.     Parameters are dt, a, b, and c.
  427. ~OnlineFF
  428. {=HT_LORENZ lorenz3d4}
  429. ~Label=HF_LORENZ3D4
  430.     Lorenz four lobe attractor - orbit in three dimensions.
  431.     The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone.
  432.       z(0) = y(0) = z(0) = 1; 
  433.       x(n+1) = x(n) +(-a*dt*x(n)^3 
  434.          + (2*a*dt+b*dt-z(n)*dt)*x(n)^2*y(n) + (a*dt-2*dt)*x(n)*y(n)^2 
  435.          + (z(n)*dt-b*dt)*y(n)^3) / (2 * (x(n)^2+y(n)^2))
  436.       y(n+1) = y(n) +((b*dt-z(n)*dt)*x(n)^3 + (a*dt-2*dt)*x(n)^2*y(n) 
  437.          + (-2*a*dt-b*dt+z(n)*dt)*x(n)*y(n)^2 
  438.          - a*dt*y(n)^3) / (2 * (x(n)^2+y(n)^2))
  439.       z(n+1) = z(n) +(2*x(n)*dt*x(n)^2*y(n) - 2*x(n)*dt*y(n)^3 - c*dt*z(n))
  440.     Parameters are dt, a, b, and c.
  441.  
  442. {=HT_LSYS lsystem}
  443.     Using a turtle-graphics control language and starting with
  444.     an initial axiom string, carries out string substitutions the
  445.     specified number of times (the order), and plots the resulting.
  446.  
  447. {=HT_LYAPUNOV lyapunov}
  448.     Derived from the Bifurcation fractal, the Lyapunov plots the Lyapunov
  449.     Exponent for a population model where the Growth parameter varies between
  450.     two values in a periodic manner.
  451. ~OnlineFF
  452.  
  453. {=HT_MAGNET magnet1j}
  454. ~Label=HF_MAGJ1
  455.       z(0) = pixel;
  456.         [  z(n)^2 + (c-1)  ] 2
  457.       z(n+1) =    | ---------------- | 
  458.         [  2*z(n) + (c-2)  ]
  459.     Parameters: the real and imaginary parts of c
  460.  
  461. {=HT_MAGNET magnet1m}
  462. ~Label=HF_MAGM1
  463.       z(0) = 0; c = pixel;
  464.         [  z(n)^2 + (c-1)  ] 2
  465.       z(n+1) =    | ---------------- | 
  466.         [  2*z(n) + (c-2)  ]
  467.     Parameters: the real & imaginary parts of perturbation of z(0)
  468.  
  469. {=HT_MAGNET magnet2j}
  470. ~Label=HF_MAGJ2
  471.       z(0) = pixel;
  472.         [  z(n)^3 + 3*(C-1)*z(n) + (C-1)*(C-2)           ] 2
  473.       z(n+1) =    |  -------------------------------------------- |
  474.         [  3*(z(n)^2) + 3*(C-2)*z(n) + (C-1)*(C-2) + 1 ]
  475.     Parameters: the real and imaginary parts of c
  476. ~OnlineFF
  477. {=HT_MAGNET magnet2m}
  478. ~Label=HF_MAGM2
  479.       z(0) = 0; c = pixel;
  480.         [  z(n)^3 + 3*(C-1)*z(n) + (C-1)*(C-2)           ] 2
  481.       z(n+1) =    |  -------------------------------------------- |
  482.         [  3*(z(n)^2) + 3*(C-2)*z(n) + (C-1)*(C-2) + 1 ]
  483.     Parameters: the real and imaginary parts of perturbation of z(0)
  484.  
  485. {=HT_MANDEL mandel}
  486. ~Label=HF_MANDEL
  487.     Classic Mandelbrot set fractal.
  488.       z(0) = c = pixel;
  489.       z(n+1) = z(n)^2 + c.
  490.     Two parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  491.  
  492. {=HT_FNORFN mandel(fn||fn)}
  493. ~Label=HF_MANDELFNFN
  494.       c = pixel;
  495.       z(0) = p1
  496.       if modulus(z(n)) < shift value, then
  497.          z(n+1) = fn1(z(n)) + c,
  498.       else
  499.          z(n+1) = fn2(z(n)) + c.
  500.     Five parameters: real, imaginary portions of p1, shift value,
  501.                      fn1 and fn2.
  502. ~OnlineFF
  503.  
  504. {=HT_MANDELCLOUD mandelcloud}
  505. ~Label=HF_MANDELCLOUD
  506.     Displays orbits of Mandelbrot set:
  507.       z(0) = c = pixel;
  508.       z(n+1) = z(n)^2 + c.
  509.     One parameter: number of intervals
  510.  
  511. {=HT_MANDJUL4 mandel4}
  512. ~Label=HF_MANDEL4
  513.     Special case of mandelzpower kept for speed.
  514.       z(0) = c = pixel;
  515.       z(n+1) = z(n)^4 + c.
  516.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  517.  
  518. {=HT_MANDFN mandelfn}
  519. ~Label=HF_MANDFN
  520.       z(0) = c = pixel;
  521.       z(n+1) = c*fn(z(n)).
  522.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn
  523. ~OnlineFF
  524.  
  525. {=HT_FNORFN manlam(fn||fn)}
  526. ~Label=HF_MANLAMFNFN
  527.       c = pixel;
  528.       z(0) = p1
  529.       if modulus(z(n)) < shift value, then
  530.          z(n+1) = fn1(z(n)) * c, else
  531.          z(n+1) = fn2(z(n)) * c.
  532.     Five parameters: real, imaginary parts of p1, shift value, fn1, fn2.
  533.  
  534. {=HT_MARTIN Martin}
  535. ~Label=HF_MARTIN
  536.     Attractor fractal by Barry Martin - orbit in two dimensions.
  537.       z(0) = y(0) = 0;
  538.       x(n+1) = y(n) - sin(x(n))
  539.       y(n+1) = a - x(n)
  540.     Parameter is a (try a value near pi)
  541.  
  542. {=HT_MLAMBDA mandellambda}
  543. ~Label=HF_MLAMBDA
  544.       z(0) = .5; lambda = pixel;
  545.       z(n+1) = lambda*z(n)*(1 - z(n)).
  546.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  547. ~OnlineFF
  548. {=HT_PHOENIX mandphoenix}
  549. ~Label=HF_MANDPHOENIX
  550.     z(0) = c = pixel, y(0) = 0;
  551.     For degree = 0:
  552.       z(n+1) = z(n)^2 + c.x + c.y*y(n), y(n+1) = z(n)
  553.     For degree >= 2:
  554.       z(n+1) = z(n)^degree + c.x*z(n)^(degree-1) + c.y*y(n)
  555.       y(n+1) = z(n)
  556.     For degree <= -3:
  557.       z(n+1) = z(n)^|degree| + c.x*z(n)^(|degree|-2) + c.y*y(n)
  558.       y(n+1) = z(n)
  559.     Three parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and degree.
  560.  
  561. {=HT_PHOENIX mandphoenixclx}
  562. ~Label=HF_MANDPHOENIXCPLX
  563.     z(0) = c = pixel, y(0) = 0;
  564.     For degree = 0:
  565.       z(n+1) = z(n)^2 + c + p2*y(n), y(n+1) = z(n)
  566.     For degree >= 2:
  567.       z(n+1) = z(n)^degree + c*z(n)^(degree-1) + p2*y(n), y(n+1) = z(n)
  568.     For degree <= -3:
  569.       z(n+1) = z(n)^|degree| + c*z(n)^(|degree|-2) + p2*y(n), y(n+1) = z(n)
  570.     Five parameters: real & imaginary perturbations of z(0), real &
  571.       imaginary parts of p2, and degree.
  572. ~OnlineFF
  573. {=HT_PICKMJ manfn+exp}
  574. ~Label=HF_MANDFNPLUSEXP
  575.     'Mandelbrot-Equivalent' for the julfn+exp fractal.
  576.       z(0) = c = pixel;
  577.       z(n+1) = fn(z(n)) + e^z(n) + C.
  578.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn
  579.  
  580. {=HT_PICKMJ manfn+zsqrd}
  581. ~Label=HF_MANDFNPLUSZSQRD
  582.     'Mandelbrot-Equivalent' for the Julfn+zsqrd fractal.
  583.       z(0) = c = pixel;
  584.       z(n+1) = fn(z(n)) + z(n)^2 + c.
  585.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn
  586.  
  587. {=HT_SCOTSKIN manowar}
  588. ~Label=HF_MANOWAR
  589.       c = z1(0) = z(0) = pixel;
  590.       z(n+1) = z(n)^2 + z1(n) + c;
  591.       z1(n+1) = z(n);
  592.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0)
  593. {=HT_SCOTSKIN manowarj}
  594. ~Label=HF_MANOWARJ
  595.       z1(0) = z(0) = pixel;
  596.       z(n+1) = z(n)^2 + z1(n) + c;
  597.       z1(n+1) = z(n);
  598.     Parameters: real & imaginary parts of c
  599. ~OnlineFF
  600.  
  601. {=HT_PICKMJ manzpower}
  602. ~Label=HF_MANZPOWER
  603.     'Mandelbrot-Equivalent' for julzpower.
  604.       z(0) = c = pixel;
  605.       z(n+1) = z(n)^exp + c; try exp = e = 2.71828...
  606.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), real &
  607.     imaginary parts of exponent exp.
  608.  
  609. {=HT_PICKMJ manzzpwr}
  610. ~Label=HF_MANZZPWR
  611.     'Mandelbrot-Equivalent' for the julzzpwr fractal.
  612.       z(0) = c = pixel
  613.       z(n+1) = z(n)^z(n) + z(n)^exp + C.
  614.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and exponent
  615.  
  616. {=HT_MARKS marksjulia}
  617. ~Label=HF_MARKSJULIA
  618.     A variant of the julia-lambda fractal.
  619.       z(0) = pixel;
  620.       z(n+1) = (c^exp-1)*z(n)^2 + c.
  621.     Parameters: real & imaginary parts of c, and exponent
  622. ~OnlineFF
  623.  
  624. {=HT_MARKS marksmandel}
  625. ~Label=HF_MARKSMAND
  626.     A variant of the mandel-lambda fractal.
  627.       z(0) = c = pixel;
  628.       z(n+1) = (c^exp-1)*z(n)^2 + c.
  629.     Parameters: real & imaginary parts of perturbations of z(0),
  630.     and exponent
  631.  
  632. {=HT_MARKS marksmandelpwr}
  633. ~Label=HF_MARKSMANDPWR
  634.     The marksmandelpwr formula type generalized (it previously
  635.     had fn=sqr hard coded).
  636.       z(0) = pixel, c = z(0) ^ (z(0) - 1):
  637.       z(n+1) = c * fn(z(n)) + pixel,
  638.     Parameters: real and imaginary perturbations of z(0), and fn
  639.  
  640. {=HT_NEWTBAS newtbasin}
  641. ~Label=HF_NEWTBAS
  642.     Based on the Newton formula for finding the roots of z^p - 1.
  643.     Pixels are colored according to which root captures the orbit.
  644.       z(0) = pixel;
  645.       z(n+1) = ((p-1)*z(n)^p + 1)/(p*z(n)^(p - 1)).
  646.     Two parameters: the polynomial degree p, and a flag to turn
  647.     on color stripes to show alternate iterations.
  648. ~OnlineFF
  649.  
  650. {=HT_NEWT newton}
  651. ~Label=HF_NEWT
  652.     Based on the Newton formula for finding the roots of z^p - 1.
  653.     Pixels are colored according to the iteration when the orbit
  654.     is captured by a root.
  655.       z(0) = pixel;
  656.       z(n+1) = ((p-1)*z(n)^p + 1)/(p*z(n)^(p - 1)).
  657.     One parameter: the polynomial degree p.
  658.  
  659. {=HT_PHOENIX phoenix}
  660. ~Label=HF_PHOENIX
  661.     z(0) = pixel, y(0) = 0;
  662.     For degree = 0: z(n+1) = z(n)^2 + p1.x + p2.x*y(n), y(n+1) = z(n)
  663.     For degree >= 2:
  664.      z(n+1) = z(n)^degree + p1.x*z(n)^(degree-1) + p2.x*y(n), y(n+1) = z(n)
  665.     For degree <= -3:
  666.      z(n+1) = z(n)^|degree| + p1.x*z(n)^(|degree|-2) + p2.x*y(n), y(n+1) = z(n)
  667.     Three parameters: real parts of p1 & p2, and degree.
  668. ~OnlineFF
  669.  
  670. {=HT_PHOENIX phoenixcplx}
  671. ~Label=HF_PHOENIXCPLX
  672.     z(0) = pixel, y(0) = 0;
  673.     For degree = 0: z(n+1) = z(n)^2 + p1 + p2*y(n), y(n+1) = z(n)
  674.     For degree >= 2:
  675.       z(n+1) = z(n)^degree + p1*z(n)^(degree-1) + p2*y(n), y(n+1) = z(n)
  676.     For degree <= -3:
  677.       z(n+1) = z(n)^|degree| + p1*z(n)^(|degree|-2) + p2*y(n), y(n+1) = z(n)
  678.     Five parameters: real & imaginary parts of p1 & p2, and degree.
  679. {=HT_PICK pickover}
  680. ~Label=HF_PICKOVER
  681.     Orbit in three dimensions defined by:
  682.       x(n+1) = sin(a*y(n)) - z(n)*cos(b*x(n))
  683.       y(n+1) = z(n)*sin(c*x(n)) - cos(d*y(n))
  684.       z(n+1) = sin(x(n))
  685.     Parameters: a, b, c, and d.
  686. {=HT_PLASMA plasma}
  687. ~Label=HF_PLASMA
  688.     Random, cloud-like formations.  Requires 4 or more colors.
  689.     A recursive algorithm repeatedly subdivides the screen and
  690.     colors pixels according to an average of surrounding pixels
  691.     and a random color, less random as the grid size decreases.
  692.     Four parameters: 'graininess' (.5 to 50, default = 2), old/new
  693.     algorithm, seed value used, 16-bit out output selection.
  694.  
  695. {=HT_POPCORN popcorn}
  696. ~Label=HF_POPCORN
  697.     The orbits in two dimensions defined by:
  698.       x(0) = xpixel, y(0) = ypixel;
  699.       x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n) + tan(3*y(n))
  700.       y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n) + tan(3*x(n))
  701.     are plotted for each screen pixel and superimposed.
  702.     One parameter: step size h.
  703.  
  704. {=HT_POPCORN popcornjul}
  705. ~Label=HF_POPCJUL
  706.     Conventional Julia using the popcorn formula:
  707.       x(0) = xpixel, y(0) = ypixel;
  708.       x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n) + tan(3*y(n))
  709.       y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n) + tan(3*x(n))
  710.     One parameter: step size h.
  711.  
  712. {=HT_MARTIN quadruptwo}
  713. ~Label=HF_QUADRUPTWO
  714.     Quadruptwo attractor from Michael Peters - orbit in two dimensions.
  715.       z(0) = y(0) = 0;
  716.       x(n+1) = y(n) - sign(x(n)) * sin(ln(abs(b*x(n)-c)))             
  717.                                  * arctan(sqr(ln(abs(c*x(n)-b))))
  718.       y(n+1) = a - x(n)
  719.     Parameters are a, b, and c.
  720. ~OnlineFF
  721. {=HT_QUAT quatjul}
  722. ~Label=HF_QUATJ
  723.     Quaternion Julia set.
  724.       q(0)   = (xpixel,ypixel,zj,zk)
  725.       q(n+1) = q(n)*q(n) + c.
  726.     Four parameters: c, ci, cj, ck
  727.     c = (c1,ci,cj,ck)
  728.  
  729. {=HT_QUAT quat}
  730. ~Label=HF_QUAT
  731.     Quaternion Mandelbrot set.
  732.       q(0)   = (0,0,0,0)
  733.       q(n+1) = q(n)*q(n) + c.
  734.     Two parameters: cj,ck
  735.     c = (xpixel,ypixel,cj,ck)
  736.  
  737. {=HT_ROSS rossler3D}
  738. ~Label=HF_ROSS
  739.     Orbit in three dimensions defined by:
  740.       x(0) = y(0) = z(0) = 1;
  741.       x(n+1) = x(n) - y(n)*dt -   z(n)*dt
  742.       y(n+1) = y(n) + x(n)*dt + a*y(n)*dt
  743.       z(n+1) = z(n) + b*dt + x(n)*z(n)*dt - c*z(n)*dt
  744.     Parameters are dt, a, b, and c.
  745. ~OnlineFF
  746. {=HT_SIER sierpinski}
  747. ~Label=HF_SIER
  748.     Sierpinski gasket - Julia set producing a 'Swiss cheese triangle'
  749.       z(n+1) = (2*x,2*y-1) if y > .5;
  750.       else (2*x-1,2*y) if x > .5;
  751.       else (2*x,2*y)
  752.     No parameters.
  753.  
  754. {=HT_SCOTSKIN spider}
  755. ~Label=HF_SPIDER
  756.       c(0) = z(0) = pixel;
  757.       z(n+1) = z(n)^2 + c(n);
  758.       c(n+1) = c(n)/2 + z(n+1)
  759.     Parameters: real & imaginary perturbation of z(0)
  760.  
  761. {=HT_SCOTSKIN sqr(1/fn)}
  762. ~Label=HF_SQROVFN
  763.       z(0) = pixel;
  764.       z(n+1) = (1/fn(z(n))^2
  765.     One parameter: the function fn.
  766.  
  767. {=HT_SCOTSKIN sqr(fn)}
  768. ~Label=HF_SQRFN
  769.       z(0) = pixel;
  770.       z(n+1) = fn(z(n))^2
  771.     One parameter: the function fn.
  772. ~OnlineFF
  773. {=HT_TEST test}
  774. ~Label=HF_TEST
  775.     'test' point letting us (and you!) easily add fractal types via
  776.     the c module testpt.c.  Default set up is a mandelbrot fractal.
  777.     Four parameters: user hooks (not used by default testpt.c).
  778.  
  779. {=HT_SCOTSKIN tetrate}
  780. ~Label=HF_TETRATE
  781.       z(0) = c = pixel;
  782.       z(n+1) = c^z(n)
  783.     Parameters: real & imaginary perturbation of z(0)
  784.  
  785. {=HT_MARTIN threeply}
  786. ~Label=HF_THREEPLY
  787.     Threeply attractor by Michael Peters - orbit in two dimensions.
  788.       z(0) = y(0) = 0;
  789.       x(n+1) = y(n) - sign(x(n)) * (abs(sin(x(n))*cos(b)                
  790.                                     +c-x(n)*sin(a+b+c)))
  791.       y(n+1) = a - x(n)
  792.     Parameters are a, b, and c.
  793. ~OnlineFF
  794. {=HT_MARKS tim's_error}
  795. ~Label=HF_TIMSERR
  796.     A serendipitous coding error in marksmandelpwr brings to life
  797.     an ancient pterodactyl!  (Try setting fn to sqr.)
  798.       z(0) = pixel, c = z(0) ^ (z(0) - 1):
  799.       tmp = fn(z(n))
  800.       real(tmp) = real(tmp) * real(c) - imag(tmp) * imag(c);
  801.       imag(tmp) = real(tmp) * imag(c) - imag(tmp) * real(c);
  802.       z(n+1) = tmp + pixel;
  803.     Parameters: real & imaginary perturbations of z(0) and function fn
  804.  
  805. {=HT_UNITY unity}
  806. ~Label=HF_UNITY
  807.       z(0) = pixel;
  808.       x = real(z(n)), y = imag(z(n))
  809.       One = x^2 + y^2;
  810.       y = (2 - One) * x;
  811.       x = (2 - One) * y;
  812.       z(n+1) = x + i*y
  813.     No parameters.
  814. ~CompressSpaces+
  815. ;
  816. ;
  817. ;
  818. ~Topic=Fractal Types
  819.  
  820. A list of the fractal types and their mathematics can be found in the
  821. {Summary of Fractal Types}.  Some notes about how Fractint calculates
  822. them are in "A Little Code" in {"Fractals and the PC"}.
  823.  
  824. Fractint starts by default with the Mandelbrot set. You can change that by
  825. using the command-line argument "TYPE=" followed by one of the
  826. fractal type names, or by using the <T> command and
  827. selecting the type - if parameters are needed, you will be prompted for
  828. them.
  829.  
  830. In the text that follows, due to the limitations of the ASCII character
  831. set, "a*b" means "a times b", and "a^b" means "a to the power b".
  832.  
  833. ~Doc-
  834. Press <PageDown> for type selection list.
  835. ~FF
  836. Select a fractal type:
  837.  
  838. ~Table=40 2 0
  839. { The Mandelbrot Set }
  840. { Julia Sets }
  841. { Inverse Julias }
  842. { Newton domains of attraction }
  843. { Newton }
  844. { Complex Newton }
  845. { Lambda Sets }
  846. { Mandellambda Sets }
  847. { Plasma Clouds }
  848. { Lambdafn }
  849. { Mandelfn }
  850. { Barnsley Mandelbrot/Julia Sets }
  851. { Barnsley IFS Fractals }
  852. { Sierpinski Gasket }
  853. { Quartic Mandelbrot/Julia }
  854. { Distance Estimator }
  855. { Pickover Mandelbrot/Julia Types }
  856. { Pickover Popcorn }
  857. { Dynamic System }
  858. { Quaternion }
  859. { Peterson Variations }
  860. { Unity }
  861. { Circle }
  862. { Scott Taylor / Lee Skinner Variations }
  863. { Kam Torus }
  864. { Bifurcation }
  865. { Orbit Fractals }
  866. { Lorenz Attractors }
  867. { Rossler Attractors }
  868. { Henon Attractors }
  869. { Pickover Attractors }
  870. { Martin Attractors }
  871. { Gingerbreadman }
  872. { Test }
  873. { Formula }
  874. { Julibrots }
  875. { Diffusion Limited Aggregation }
  876. { Magnetic Fractals }
  877. { L-Systems }
  878. { Lyapunov Fractals }
  879. { fn||fn Fractals }
  880. { Halley }
  881. { Cellular Automata }
  882. { Phoenix }
  883. { Frothy Basins }
  884. { Icon }
  885. { Hypercomplex }
  886. ~EndTable
  887. ~Doc+
  888. ;
  889. ;
  890. ~Topic=The Mandelbrot Set, Label=HT_MANDEL
  891. (type=mandel)
  892.  
  893. This set is the classic: the only one implemented in many plotting
  894. programs, and the source of most of the printed fractal images published
  895. in recent years. Like most of the other types in Fractint, it is simply a
  896. graph: the x (horizontal) and y (vertical) coordinate axes represent
  897. ranges of two independent quantities, with various colors used to
  898. symbolize levels of a third quantity which depends on the first two. So
  899. far, so good: basic analytic geometry.
  900.  
  901. Now things get a bit hairier. The x axis is ordinary, vanilla real
  902. numbers. The y axis is an imaginary number, i.e. a real number times i,
  903. where i is the square root of -1. Every point on the plane -- in this
  904. case, your PC's display screen -- represents a complex number of the form:
  905.  
  906.     x-coordinate + i * y-coordinate
  907.  
  908. If your math training stopped before you got to imaginary and complex
  909. numbers, this is not the place to catch up. Suffice it to say that they
  910. are just as "real" as the numbers you count fingers with (they're used
  911. every day by electrical engineers) and they can undergo the same kinds of
  912. algebraic operations.
  913.  
  914. OK, now pick any complex number -- any point on the complex plane -- and
  915. call it C, a constant. Pick another, this time one which can vary, and
  916. call it Z. Starting with Z=0 (i.e., at the origin, where the real and
  917. imaginary axes cross), calculate the value of the expression
  918.  
  919.     Z^2 + C
  920.  
  921. Take the result, make it the new value of the variable Z, and calculate
  922. again. Take that result, make it Z, and do it again, and so on: in
  923. mathematical terms, iterate the function Z(n+1) = Z(n)^2 + C. For certain
  924. values of C, the result "levels off" after a while. For all others, it
  925. grows without limit. The Mandelbrot set you see at the start -- the solid-
  926. colored lake (blue by default), the blue circles sprouting from it, and
  927. indeed every point of that color -- is the set of all points C for which
  928. the magnitude of Z is less than 2 after 150 iterations (150 is the default
  929. setting, changeable via the <X> options screen or "maxiter=" parameter).
  930. All the surrounding "contours" of other colors represent points for which
  931. the magnitude of Z exceeds 2 after 149 iterations (the contour closest to
  932. the M-set itself), 148 iterations, (the next one out), and so on.
  933.  
  934. We actually don't test for the magnitude of Z exceeding 2 - we test the
  935. magnitude of Z squared against 4 instead because it is easier.  This value
  936. (FOUR usually) is known as the "bailout" value for the calculation, because
  937. we stop iterating for the point when it is reached.  The bailout value can
  938. be changed on the <Z> options screen but the default is usually best.  See
  939. also {Bailout Test}.
  940.  
  941. Some features of interest:
  942.  
  943. 1. Use the <X> options screen to increase the maximum number of iterations.
  944. Notice that the boundary of the M-set becomes more and more convoluted (the
  945. technical terms are "wiggly," "squiggly," and "utterly bizarre") as the Z-
  946. magnitudes for points that were still within the set after 150 iterations turn
  947. out to exceed 2 after 200, 500, or 1200. In fact, it can be proven that
  948. the true boundary is infinitely long: detail without limit.
  949.  
  950. 2. Although there appear to be isolated "islands" of blue, zoom in -- that
  951. is, plot for a smaller range of coordinates to show more detail -- and
  952. you'll see that there are fine "causeways" of blue connecting them to the
  953. main set. As you zoomed, smaller islands became visible; the same is true
  954. for them. In fact, there are no isolated points in the M-set: it is
  955. "connected" in a strict mathematical sense.
  956.  
  957. 3. The upper and lower halves of the first image are symmetric (a fact
  958. that Fractint makes use of here and in some other fractal types to speed
  959. plotting). But notice that the same general features -- lobed discs,
  960. spirals, starbursts -- tend to repeat themselves (although never exactly)
  961. at smaller and smaller scales, so that it can be impossible to judge by
  962. eye the scale of a given image.
  963.  
  964. 4. In a sense, the contour colors are window-dressing: mathematically, it
  965. is the properties of the M-set itself that are interesting, and no
  966. information about it would be lost if all points outside the set were
  967. assigned the same color. If you're a serious, no-nonsense type, you may
  968. want to cycle the colors just once to see the kind of silliness that other
  969. people enjoy, and then never do it again. Go ahead. Just once, now. We
  970. trust you.
  971. ;
  972. ;
  973. ~Topic=Julia Sets, Label=HT_JULIA
  974. (type=julia)
  975.  
  976. These sets were named for mathematician Gaston Julia, and can be generated
  977. by a simple change in the iteration process described for the
  978. {=HT_MANDEL Mandelbrot Set}.  Start with a
  979. specified value of C, "C-real + i * C-imaginary"; use as the initial value
  980. of Z "x-coordinate + i * y-coordinate"; and repeat the same iteration,
  981. Z(n+1) = Z(n)^2 + C.
  982.  
  983. There is a Julia set corresponding to every point on the complex plane --
  984. an infinite number of Julia sets. But the most visually interesting tend
  985. to be found for the same C values where the M-set image is busiest, i.e.
  986. points just outside the boundary. Go too far inside, and the corresponding
  987. Julia set is a circle; go too far outside, and it breaks up into scattered
  988. points. In fact, all Julia sets for C within the M-set share the
  989. "connected" property of the M-set, and all those for C outside lack it.
  990.  
  991. Fractint's spacebar toggle lets you "flip" between any view of the M-set
  992. and the Julia set for the point C at the center of that screen. You can
  993. then toggle back, or zoom your way into the Julia set for a while and then
  994. return to the M-set. So if the infinite complexity of the M-set palls,
  995. remember: each of its infinite points opens up a whole new Julia set.
  996.  
  997. Historically, the Julia sets came first: it was while looking at the M-set
  998. as an "index" of all the Julia sets' origins that Mandelbrot noticed its
  999. properties.
  1000.  
  1001. The relationship between the {=HT_MANDEL Mandelbrot} set and Julia set can
  1002. hold between
  1003. other sets as well.  Many of Fractint's types are "Mandelbrot/Julia" pairs
  1004. (sometimes called "M-sets" or "J-sets". All these are generated by
  1005. equations that are of the form z(k+1) = f(z(k),c), where the function
  1006. orbit is the sequence z(0), z(1), ..., and the variable c is a complex
  1007. parameter of the equation. The value c is fixed for "Julia" sets and is
  1008. equal to the first two parameters entered with the "params=Creal/Cimag"
  1009. command. The initial orbit value z(0) is the complex number corresponding
  1010. to the screen pixel. For Mandelbrot sets, the parameter c is the complex
  1011. number corresponding to the screen pixel. The value z(0) is c plus a
  1012. perturbation equal to the values of the first two parameters.  See
  1013. the discussion of {=HT_MLAMBDA Mandellambda Sets}.
  1014. This approach may or may not be the
  1015. "standard" way to create "Mandelbrot" sets out of "Julia" sets.
  1016.  
  1017. Some equations have additional parameters.  These values are entered as the
  1018. third or fourth params= value for both Julia and Mandelbrot sets. The
  1019. variables x and y refer to the real and imaginary parts of z; similarly,
  1020. cx and cy are the real and imaginary parts of the parameter c and fx(z)
  1021. and fy(z) are the real and imaginary parts of f(z). The variable c is
  1022. sometimes called lambda for historical reasons.
  1023.  
  1024. NOTE: if you use the "PARAMS=" argument to warp the M-set by starting with
  1025. an initial value of Z other than 0, the M-set/J-sets correspondence breaks
  1026. down and the spacebar toggle no longer works.
  1027. ;
  1028. ;
  1029. ~Topic=Julia Toggle Spacebar Commands, Label=HELP_JIIM
  1030. The spacebar toggle has been enhanced for the classic Mandelbrot and Julia 
  1031. types. When viewing the Mandelbrot, the spacebar turns on a window mode that 
  1032. displays the Inverse Julia corresponding to the cursor position in a window. 
  1033. Pressing the spacebar then causes the regular Julia escape time fractal 
  1034. corresponding to the cursor position to be generated. The following keys 
  1035. take effect in Inverse Julia mode. 
  1036.  
  1037. <Space>     Generate the escape-time Julia Set corresponding to the cursor\
  1038.             position. Only works if fractal is a "Mandelbrot" type.\
  1039. <n>         Numbers toggle - shows coordinates of the cursor on the\ 
  1040.             screen. Press <n> again to turn off numbers.\
  1041. <p>         Enter new pixel coordinates directly\ 
  1042. <h>         Hide fractal toggle. Works only if View Windows is turned on\ 
  1043.             and set for a small window (such as the default size.) Hides \ 
  1044.             the fractal, allowing the orbit to take up the whole screen. \
  1045.             Press <h> again to uncover the fractal.\
  1046. <s>         Saves the fractal, cursor, orbits, and numbers.\
  1047. <<> or <,>  Zoom inverse julia image smaller.\
  1048. <>> or <.>  Zoom inverse julia image larger.\
  1049. <z>         Restore default zoom.\
  1050.  
  1051. The Julia Inverse window is only implemented for the classic Mandelbrot
  1052. (type=mandel). For other "Mandelbrot" types <space> turns on the cursor 
  1053. without the Julia window, and allows you to select coordinates of the
  1054. matching Julia set in a way similar to the use of the zoom box with the 
  1055. Mandelbrot/Julia toggle in previous Fractint versions.
  1056. ;
  1057. ;
  1058. ~Topic=Inverse Julias, Label=HT_INVERSE
  1059. (type=julia_inverse)
  1060.  
  1061. Pick a function, such as the familiar Z(n) = Z(n-1) squared plus C
  1062. (the defining function of the Mandelbrot Set).  If you pick a point Z(0)
  1063. at random from the complex plane, and repeatedly apply the function to it,
  1064. you get a sequence of new points called an orbit, which usually either 
  1065. zips out toward infinity or zooms in toward one or more "attractor" points
  1066. near the middle of the plane.  The set of all points that are "attracted"
  1067. to infinity is called the "Basin of Attraction" of infinity.  Each of the
  1068. other attractors also has its own Basin of Attraction.  Why is it called
  1069. a Basin?  Imagine a lake, and all the water in it "draining" into the
  1070. attractor.  The boundary between these basins is called the Julia Set of
  1071. the function.
  1072.  
  1073. The boundary between the basins of attraction is sort of like a 
  1074. repeller; all orbits move away from it, toward one of the attractors.
  1075. But if we define a new function as the inverse of the old one, as for
  1076. instance Z(n) = sqrt(Z(n-1) minus C), then the old attractors become
  1077. repellers, and the former boundary itself becomes the attractor!  Now,
  1078. starting from any point, all orbits are drawn irresistibly to the Julia
  1079. Set!  In fact, once an orbit reaches the boundary, it will continue to
  1080. hop about until it traces the entire Julia Set!  This method for drawing
  1081. Julia Sets is called the Inverse Iteration Method, or IIM for short.
  1082.  
  1083. Unfortunately, some parts of each Julia Set boundary are far more 
  1084. attractive to inverse orbits than others are, so that as an orbit 
  1085. traces out the set, it keeps coming back to these attractive parts
  1086. again and again, only occasionally visiting the less attractive parts.
  1087. Thus it may take an infinite length of time to draw the entire set.
  1088. To hasten the process, we can keep track of how many times each pixel
  1089. on our computer screen is visited by an orbit, and whenever an orbit
  1090. reaches a pixel that has already been visited more than a certain number
  1091. of times, we can consider that orbit finished and move on to another one.
  1092. This "hit limit" thus becomes similar to the iteration limit used in the
  1093. traditional escape-time fractal algorithm.  This is called the Modified
  1094. Inverse Iteration Method, or MIIM, and is much faster than the IIM.
  1095.  
  1096. Now, the inverse of Mandelbrot's classic function is a square root, and
  1097. the square root actually has two solutions; one positive, one negative.
  1098. Therefore at each step of each orbit of the inverse function there is
  1099. a decision; whether to use the positive or the negative square root.  
  1100. Each one gives rise to a new point on the Julia Set, so each is a good
  1101. choice.  This series of choices defines a binary decision tree, each
  1102. point on the Julia Set giving rise to two potential child points.  
  1103. There are many interesting ways to traverse a binary tree, among them
  1104. Breadth first, Depth first (left or negative first), Depth first (right
  1105. or positive first), and completely at random.  It turns out that most 
  1106. traversal methods lead to the same or similar pictures, but that how the
  1107. image evolves as the orbits trace it out differs wildly depending on the
  1108. traversal method chosen.  As far as I know, this fact is an original 
  1109. discovery, and this version of FRACTINT is its first publication.
  1110.  
  1111. Pick a Julia constant such as Z(0) = (-.74543, .11301), the popular
  1112. Seahorse Julia, and try drawing it first Breadth first, then Depth first
  1113. (right first), Depth first (left first), and finally with Random Walk.
  1114.  
  1115. Caveats: the video memory is used in the algorithm, to keep track of 
  1116. how many times each pixel has been visited (by changing it's color). 
  1117. Therefore the algorithm will not work well if you zoom in far enough that
  1118. part of the Julia Set is off the screen.
  1119.  
  1120. Bugs:   Not working with Disk Video.
  1121.         Not resumeable.
  1122.  
  1123. The <J> key toggles between the Inverse Julia orbit and the 
  1124. corresponding Julia escape time fractal.
  1125. ;
  1126. ;
  1127. ~Topic=Newton domains of attraction, Label=HT_NEWTBAS
  1128. (type=newtbasin)
  1129.  
  1130. The Newton formula is an algorithm used to find the roots of polynomial
  1131. equations by successive "guesses" that converge on the correct value as
  1132. you feed the results of each approximation back into the formula. It works
  1133. very well -- unless you are unlucky enough to pick a value that is on a
  1134. line BETWEEN two actual roots. In that case, the sequence explodes into
  1135. chaos, with results that diverge more and more wildly as you continue the
  1136. iteration.
  1137.  
  1138. This fractal type shows the results for the polynomial Z^n - 1, which has
  1139. n roots in the complex plane. Use the <T>ype command and enter "newtbasin"
  1140. in response to the prompt. You will be asked for a parameter, the "order"
  1141. of the equation (an integer from 3 through 10 -- 3 for x^3-1, 7 for x^7-1,
  1142. etc.). A second parameter is a flag to turn on alternating shades showing
  1143. changes in the number of iterations needed to attract an orbit. Some
  1144. people like stripes and some don't, as always, Fractint gives you a
  1145. choice!
  1146.  
  1147. The coloring of the plot shows the "basins of attraction" for each root of
  1148. the polynomial -- i.e., an initial guess within any area of a given color
  1149. would lead you to one of the roots. As you can see, things get a bit weird
  1150. along certain radial lines or "spokes," those being the lines between
  1151. actual roots. By "weird," we mean infinitely complex in the good old
  1152. fractal sense. Zoom in and see for yourself.
  1153.  
  1154. This fractal type is symmetric about the origin, with the number of
  1155. "spokes" depending on the order you select. It uses floating-point math if
  1156. you have an FPU, or a somewhat slower integer algorithm if you don't have
  1157. one.
  1158. ~Doc-
  1159.  
  1160. See also: {Newton}
  1161. ~Doc+
  1162. ;
  1163. ;
  1164. ~Topic=Newton, Label=HT_NEWT
  1165. (type=newton)
  1166.  
  1167. The generating formula here is identical to that for {=HT_NEWTBAS newtbasin},
  1168. but the
  1169. coloring scheme is different. Pixels are colored not according to the root
  1170. that would be "converged on" if you started using Newton's formula from
  1171. that point, but according to the iteration when the value is close to a
  1172. root.  For example, if the calculations for a particular pixel converge to
  1173. the 7th root on the 23rd iteration, NEWTBASIN will color that pixel using
  1174. color #7, but NEWTON will color it using color #23.
  1175.  
  1176. If you have a 256-color mode, use it: the effects can be much livelier
  1177. than those you get with type=newtbasin, and color cycling becomes, like,
  1178. downright cosmic. If your "corners" choice is symmetrical, Fractint
  1179. exploits the symmetry for faster display.
  1180.  
  1181. The applicable "params=" values are the same as newtbasin. Try "params=4."
  1182. Other values are 3 through 10. 8 has twice the symmetry and is faster. As
  1183. with newtbasin, an FPU helps.
  1184. ;
  1185. ;
  1186. ~Topic=Complex Newton, Label=HT_NEWTCMPLX
  1187. (type=complexnewton/complexbasin)
  1188.  
  1189. Well, hey, "Z^n - 1" is so boring when you can use "Z^a - b" where "a" and
  1190. "b" are complex numbers!  The new "complexnewton" and "complexbasin"
  1191. fractal types are just the old {=HT_NEWT "newton"} and
  1192. {=HT_NEWTBAS "newtbasin"} fractal types with
  1193. this little added twist.  When you select these fractal types, you are
  1194. prompted for four values (the real and imaginary portions of "a" and "b").
  1195. If "a" has a complex portion, the fractal has a discontinuity along the
  1196. negative axis - relax, we finally figured out that it's *supposed* to be
  1197. there!
  1198. ;
  1199. ;
  1200. ~Topic=Lambda Sets, Label=HT_LAMBDA
  1201. (type=lambda)
  1202.  
  1203. This type calculates the Julia set of the formula lambda*Z*(1-Z). That is,
  1204. the value Z[0] is initialized with the value corresponding to each pixel
  1205. position, and the formula iterated. The pixel is colored according to the
  1206. iteration when the sum of the squares of the real and imaginary parts
  1207. exceeds 4.
  1208.  
  1209. Two parameters, the real and imaginary parts of lambda, are required. Try
  1210. 0 and 1 to see the classical fractal "dragon". Then try 0.2 and 1 for a
  1211. lot more detail to zoom in on.
  1212.  
  1213. It turns out that all quadratic Julia-type sets can be calculated using
  1214. just the formula z^2+c (the "classic" Julia"), so that this type is
  1215. redundant, but we include it for reason of it's prominence in the history
  1216. of fractals.
  1217. ;
  1218. ;
  1219. ~Topic=Mandellambda Sets, Label=HT_MLAMBDA
  1220. (type=mandellambda)
  1221.  
  1222. This type is the "Mandelbrot equivalent" of the {=HT_LAMBDA lambda} set.
  1223. A comment is
  1224. in order here. Almost all the Fractint "Mandelbrot" sets are created from
  1225. orbits generated using formulas like z(n+1) = f(z(n),C), with z(0) and C
  1226. initialized to the complex value corresponding to the current pixel. Our
  1227. reasoning was that "Mandelbrots" are maps of the corresponding "Julias".
  1228. Using this scheme each pixel of a "Mandelbrot" is colored the same as the
  1229. Julia set corresponding to that pixel. However, Kevin Allen informs us
  1230. that the MANDELLAMBDA set appears in the literature with z(0) initialized
  1231. to a critical point (a point where the derivative of the formula is zero),
  1232. which in this case happens to be the point (.5,0). Since Kevin knows more
  1233. about Dr. Mandelbrot than we do, and Dr. Mandelbrot knows more about
  1234. fractals than we do, we defer! Starting with version 14 Fractint
  1235. calculates MANDELAMBDA Dr. Mandelbrot's way instead of our way. But ALL
  1236. THE OTHER "Mandelbrot" sets in Fractint are still calculated OUR way!
  1237. (Fortunately for us, for the classic Mandelbrot Set these two methods are
  1238. the same!)
  1239.  
  1240. Well now, folks, apart from questions of faithfulness to fractals named in
  1241. the literature (which we DO take seriously!), if a formula makes a
  1242. beautiful fractal, it is not wrong. In fact some of the best fractals in
  1243. Fractint are the results of mistakes! Nevertheless, thanks to Kevin for
  1244. keeping us accurate!
  1245.  
  1246. (See description of "initorbit=" command in {Image Calculation Parameters}
  1247. for a way to experiment with different orbit intializations).
  1248. ;
  1249. ;
  1250. ~Topic=Circle, Label=HT_CIRCLE
  1251. (type=circle)
  1252.  
  1253. This fractal types is from A. K. Dewdney's "Computer Recreations" column
  1254. in "Scientific American". It is attributed to John Connett of the 
  1255. University of Minnesota.
  1256.  
  1257. (Don't tell anyone, but this fractal type is not really a fractal!)
  1258.  
  1259. Fascinating Moire patterns can be formed by calculating x^2 + y^2 for
  1260. each pixel in a piece of the complex plane. After multiplication by a 
  1261. magnification factor (the parameter), the number is truncated to an integer 
  1262. and mapped to a color via color = value modulo (number of colors). That is, 
  1263. the integer is divided by the number of colors, and the remainder is the 
  1264. color index value used.  The resulting image is not a fractal because all 
  1265. detail is lost after zooming in too far. Try it with different resolution 
  1266. video modes - the results may surprise you!
  1267. ;
  1268. ;
  1269. ~Topic=Plasma Clouds, Label=HT_PLASMA
  1270. (type=plasma)
  1271.  
  1272. Plasma clouds ARE real live fractals, even though we didn't know it at
  1273. first. They are generated by a recursive algorithm that randomly picks
  1274. colors of the corner of a rectangle, and then continues recursively
  1275. quartering previous rectangles. Random colors are averaged with those of
  1276. the outer rectangles so that small neighborhoods do not show much change,
  1277. for a smoothed-out, cloud-like effect. The more colors your video mode
  1278. supports, the better.  The result, believe it or not, is a fractal
  1279. landscape viewed as a contour map, with colors indicating constant
  1280. elevation.  To see this, save and view with the <3> command
  1281. (see {\"3D\" Images})
  1282. and your "cloud" will be converted to a mountain!
  1283.  
  1284. You've GOT to try {=@ColorCycling color cycling} on these (hit "+" or "-").
  1285. If you
  1286. haven't been hypnotized by the drawing process, the writhing colors will
  1287. do it for sure. We have now implemented subliminal messages to exploit the
  1288. user's vulnerable state; their content varies with your bank balance,
  1289. politics, gender, accessibility to a Fractint programmer, and so on. A
  1290. free copy of Microsoft C to the first person who spots them.
  1291.  
  1292. This type accepts four parameters.
  1293.  
  1294. The first determines how abruptly the colors change. A value of .5 yields
  1295. bland clouds, while 50 yields very grainy ones. The default value is 2.
  1296.  
  1297. The second determines whether to use the original algorithm (0) or a
  1298. modified one (1). The new one gives the same type of images but draws
  1299. the dots in a different order. It will let you see
  1300. what the final image will look like much sooner than the old one.
  1301.  
  1302. The third determines whether to use a new seed for generating the
  1303. next plasma cloud (0) or to use the previous seed (1).
  1304.  
  1305. The fourth parameter turns on 16-bit .POT output which provides much
  1306. smoother height gradations. This is especially useful for creating 
  1307. mountain landscapes when using the plasma output with a ray tracer
  1308. such as POV-Ray.
  1309.  
  1310. With parameter three set to 1, the next plasma cloud generated will be 
  1311. identical to the previous but at whatever new resolution is desired.
  1312.  
  1313. Zooming is ignored, as each plasma-cloud screen is generated randomly.
  1314.  
  1315. The random number seed used for each plasma image is displayed on the
  1316. <tab> information screen, and can be entered with the command line
  1317. parameter "rseed=" to recreate a particular image. 
  1318.  
  1319. The algorithm is based on the Pascal program distributed by Bret Mulvey as
  1320. PLASMA.ARC. We have ported it to C and integrated it with Fractint's
  1321. graphics and animation facilities. This implementation does not use
  1322. floating-point math. The algorithm was modified starting with version 18 
  1323. so that the plasma effect is independent of screen resolution.
  1324.  
  1325. Saved plasma-cloud screens are EXCELLENT starting images for fractal
  1326. "landscapes" created with the {\"3D\" commands}.
  1327. ;
  1328. ;
  1329. ~Topic=Lambdafn, Label=HT_LAMBDAFN
  1330. (type=lambdafn)
  1331.  
  1332. Function=[sin|cos|sinh|cosh|exp|log|sqr|...]) is specified with this type.
  1333. Prior to version 14, these types were lambdasine, lambdacos, lambdasinh,
  1334. lambdacos, and lambdaexp.  Where we say "lambdasine" or some such below,
  1335. the good reader knows we mean "lambdafn with function=sin".)
  1336.  
  1337. These types calculate the Julia set of the formula lambda*fn(Z), for
  1338. various values of the function "fn", where lambda and Z are both complex.
  1339. Two values, the real and imaginary parts of lambda, should be given in the
  1340. "params=" option.  For the feathery, nested spirals of LambdaSines and the
  1341. frost-on-glass patterns of LambdaCosines, make the real part = 1, and try
  1342. values for the imaginary part ranging from 0.1 to 0.4 (hint: values near
  1343. 0.4 have the best patterns). In these ranges the Julia set "explodes". For
  1344. the tongues and blobs of LambdaExponents, try a real part of 0.379 and an
  1345. imaginary part of 0.479.
  1346.  
  1347. A coprocessor used to be almost mandatory: each LambdaSine/Cosine
  1348. iteration calculates a hyperbolic sine, hyperbolic cosine, a sine, and a
  1349. cosine (the LambdaExponent iteration "only" requires an exponent, sine,
  1350. and cosine operation)!    However, Fractint now computes these
  1351. transcendental functions with fast integer math. In a few cases the fast
  1352. math is less accurate, so we have kept the old slow floating point code.
  1353. To use the old code, invoke with the float=yes option, and, if you DON'T
  1354. have a coprocessor, go on a LONG vacation!
  1355. ;
  1356. ;
  1357. ~Topic=Halley, Label=HT_HALLEY
  1358. (type=halley)
  1359.  
  1360. The Halley map is an algorithm used to find the roots of polynomial
  1361. equations by successive "guesses" that converge on the correct value as
  1362. you feed the results of each approximation back into the formula. It works
  1363. very well -- unless you are unlucky enough to pick a value that is on a
  1364. line BETWEEN two actual roots. In that case, the sequence explodes into
  1365. chaos, with results that diverge more and more wildly as you continue the
  1366. iteration.
  1367.  
  1368. This fractal type shows the results for the polynomial Z(Z^a - 1), which
  1369. has a+1 roots in the complex plane. Use the <T>ype command and enter
  1370. "halley" in response to the prompt. You will be asked for a parameter, the
  1371. "order" of the equation (an integer from 2 through 10 -- 2 for Z(Z^2 - 1),
  1372. 7 for Z(Z^7 - 1), etc.). A second parameter is the relaxation coefficient,
  1373. and is used to control the convergence stability. A number greater than
  1374. one increases the chaotic behavior and a number less than one decreases the
  1375. chaotic behavior. The third parameter is the value used to determine when
  1376. the formula has converged. The test for convergence is
  1377. ||Z(n+1)|^2 - |Z(n)|^2| < epsilon. This convergence test produces the
  1378. whisker-like projections which generally point to a root.
  1379. ;
  1380. ;
  1381. ~Topic=Phoenix, Label=HT_PHOENIX
  1382. (type=phoenix, mandphoenix, phoenixcplx, mandphoenixclx)
  1383.  
  1384. The phoenix type defaults to the original phoenix curve discovered by
  1385. Shigehiro Ushiki, "Phoenix", IEEE Transactions on Circuits and Systems,
  1386. Vol. 35, No. 7, July 1988, pp. 788-789.  These images do not have the
  1387. X and Y axis swapped as is normal for this type.
  1388.  
  1389. The mandphoenix type is the corresponding Mandelbrot set image of the
  1390. phoenix type.  The spacebar toggles between the two as long as the
  1391. mandphoenix type has an initial z(0) of (0,0).  The mandphoenix is not
  1392. an effective index to the phoenix type, so explore the wild blue yonder.
  1393.  
  1394. To reproduce the Mandelbrot set image of the phoenix type as shown in
  1395. Stevens' book, "Fractal Programming in C", set initorbit=0/0 on the
  1396. command line or with the <g> key.  The colors need to be rotated one
  1397. position because Stevens uses the values from the previous calculation
  1398. instead of the current calculation to determine when to bailout.
  1399.  
  1400. The phoenixcplx type is implemented using complex constants instead of the
  1401. real constants that Stevens used.  This recreates the mapping as
  1402. originally presented by Ushiki.
  1403.  
  1404. The mandphoenixclx type is the corresponding Mandelbrot set image of the
  1405. phoenixcplx type.  The spacebar toggles between the two as long as the
  1406. mandphoenixclx type has a perturbation of z(0) = (0,0).  The mandphoenixclx
  1407. is an effective index to the phoenixcplx type.
  1408. ;
  1409. ;
  1410. ~Topic=fn||fn Fractals, Label=HT_FNORFN
  1411. (type=lambda(fn||fn), manlam(fn||fn), julia(fn||fn), mandel(fn||fn))
  1412.  
  1413. Two functions=[sin|cos|sinh|cosh|exp|log|sqr|...]) are specified with
  1414. these types.  The two functions are alternately used in the calculation
  1415. based on a comparison between the modulus of the current Z and the
  1416. shift value.  The first function is used if the modulus of Z is less
  1417. than the shift value and the second function is used otherwise.
  1418.  
  1419. The lambda(fn||fn) type calculates the Julia set of the formula
  1420. lambda*fn(Z), for various values of the function "fn", where lambda
  1421. and Z are both complex.  Two values, the real and imaginary parts of
  1422. lambda, should be given in the "params=" option.  The third value is
  1423. the shift value.  The space bar will generate the corresponding
  1424. "psuedo Mandelbrot" set, manlam(fn||fn).
  1425.  
  1426. The manlam(fn||fn) type calculates the "psuedo Mandelbrot" set of the
  1427. formula fn(Z)*C, for various values of the function "fn", where C
  1428. and Z are both complex.  Two values, the real and imaginary parts of
  1429. Z(0), should be given in the "params=" option.  The third value is
  1430. the shift value.  The space bar will generate the corresponding
  1431. julia set, lamda(fn||fn).
  1432.  
  1433. The julia(fn||fn) type calculates the Julia set of the formula
  1434. fn(Z)+C, for various values of the function "fn", where C
  1435. and Z are both complex.  Two values, the real and imaginary parts of
  1436. C, should be given in the "params=" option.  The third value is
  1437. the shift value.  The space bar will generate the corresponding
  1438. mandelbrot set, mandel(fn||fn).
  1439.  
  1440. The mandel(fn||fn) type calculates the Mandelbrot set of the formula
  1441. fn(Z)+C, for various values of the function "fn", where C
  1442. and Z are both complex.  Two values, the real and imaginary parts of
  1443. Z(0), should be given in the "params=" option.  The third value is
  1444. the shift value.  The space bar will generate the corresponding
  1445. julia set, julia(fn||fn).
  1446. ;
  1447. ;
  1448. ~Topic=Mandelfn, Label=HT_MANDFN
  1449. (type=mandelfn)
  1450.  
  1451. Function=[sin|cos|sinh|cosh|exp|log|sqr|...]) is specified with this type.
  1452. Prior to version 14, these types were mandelsine, mandelcos, mandelsinh,
  1453. mandelcos, and mandelexp. Same comment about our lapses into the old
  1454. terminology as above!
  1455.  
  1456. These are "pseudo-Mandelbrot" mappings for the {=HT_LAMBDAFN LambdaFn}
  1457. Julia functions.
  1458. They map to their corresponding Julia sets via the spacebar command in
  1459. exactly the same fashion as the original M/J sets.  In general, they are
  1460. interesting mainly because of that property (the function=exp set in
  1461. particular is rather boring). Generate the appropriate "Mandelfn" set,
  1462. zoom on a likely spot where the colors are changing rapidly, and hit the
  1463. spacebar key to plot the Julia set for that particular point.
  1464.  
  1465. Try "FRACTINT TYPE=MANDELFN CORNERS=4.68/4.76/-.03/.03 FUNCTION=COS" for a
  1466. graphic demonstration that we're not taking Mandelbrot's name in vain
  1467. here. We didn't even know these little buggers were here until Mark
  1468. Peterson found this a few hours before the version incorporating Mandelfns
  1469. was released.
  1470.  
  1471. Note: If you created images using the lambda or mandel "fn" types prior to
  1472. version 14, and you wish to update the fractal information in the "*.fra"
  1473. file, simply read the files and save again. You can do this in batch mode
  1474. via a command line such as:
  1475.  
  1476.      "fractint oldfile.fra savename=newfile.gif batch=yes"
  1477.  
  1478. For example, this procedure can convert a version 13 "type=lambdasine"
  1479. image to a version 14 "type=lambdafn function=sin" GIF89a image.  We do
  1480. not promise to keep this "backward compatibility" past version 14 - if you
  1481. want to keep the fractal information in your *.fra files accurate, we
  1482. recommend conversion.  See {GIF Save File Format}.
  1483. ;
  1484. ;
  1485. ~Topic=Barnsley Mandelbrot/Julia Sets, Label=HT_BARNS
  1486. (type=barnsleym1/.../j3)
  1487.  
  1488. Michael Barnsley has written a fascinating college-level text, "Fractals
  1489. Everywhere," on fractal geometry and its graphic applications. (See
  1490. {Bibliography}.) In it, he applies the principle of the M and J
  1491. sets to more general functions of two complex variables.
  1492.  
  1493. We have incorporated three of Barnsley's examples in Fractint. Their
  1494. appearance suggests polarized-light microphotographs of minerals, with
  1495. patterns that are less organic and more crystalline than those of the M/J
  1496. sets. Each example has both a "Mandelbrot" and a "Julia" type. Toggle
  1497. between them using the spacebar.
  1498.  
  1499. The parameters have the same meaning as they do for the "regular"
  1500. Mandelbrot and Julia. For types M1, M2, and M3, they are used to "warp"
  1501. the image by setting the initial value of Z. For the types J1 through J3,
  1502. they are the values of C in the generating formulas.
  1503.  
  1504. Be sure to try the <O>rbit function while plotting these types.
  1505. ;
  1506. ;
  1507. ~Topic=Barnsley IFS Fractals, Label=HT_IFS
  1508. (type=ifs)
  1509.  
  1510. One of the most remarkable spin-offs of fractal geometry is the ability to
  1511. "encode" realistic images in very small sets of numbers -- parameters for
  1512. a set of functions that map a region of two-dimensional space onto itself.
  1513. In principle (and increasingly in practice), a scene of any level of
  1514. complexity and detail can be stored as a handful of numbers, achieving
  1515. amazing "compression" ratios... how about a super-VGA image of a forest,
  1516. more than 300,000 pixels at eight bits apiece, from a 1-KB "seed" file?
  1517.  
  1518. Again, Michael Barnsley and his co-workers at the Georgia Institute of
  1519. Technology are to be thanked for pushing the development of these iterated
  1520. function systems (IFS).
  1521.  
  1522. When you select this fractal type, Fractint scans the current IFS file
  1523. (default is FRACTINT.IFS, a set of definitions supplied with Fractint) for
  1524. IFS definitions, then prompts you for the IFS name you wish to run. Fern
  1525. and 3dfern are good ones to start with. You can press <F6> at the
  1526. selection screen if you want to select a different .IFS file you've
  1527. written.
  1528.  
  1529. Note that some Barnsley IFS values generate images quite a bit smaller
  1530. than the initial (default) screen. Just bring up the zoom box, center it
  1531. on the small image, and hit <Enter> to get a full-screen image.
  1532.  
  1533. To change the number of dots Fractint generates for an IFS image before
  1534. stopping, you can change the "maximum iterations" parameter on the <X>
  1535. options screen.
  1536.  
  1537. Fractint supports two types of IFS images: 2D and 3D. In order to fully
  1538. appreciate 3D IFS images, since your monitor is presumably 2D, we have
  1539. added rotation, translation, and perspective capabilities. These share
  1540. values with the same variables used in Fractint's other 3D facilities; for
  1541. their meaning see {"Rectangular Coordinate Transformation"}.
  1542. You can enter these values from the command line using:
  1543.  
  1544. rotation=xrot/yrot/zrot       (try 30/30/30)\
  1545. shift=xshift/yshift          (shifts BEFORE applying perspective!)\
  1546. perspective=viewerposition    (try 200)\
  1547.  
  1548. Alternatively, entering <I> from main screen will allow you to modify
  1549. these values. The defaults are the same as for regular 3D, and are not
  1550. always optimum for 3D IFS. With the 3dfern IFS type, try
  1551. rotation=30/30/30. Note that applying shift when using perspective changes
  1552. the picture -- your "point of view" is moved.
  1553.  
  1554. A truly wild variation of 3D may be seen by entering "2" for the stereo
  1555. mode (see {"Stereo 3D Viewing"}),
  1556. putting on red/blue "funny glasses", and watching the fern develop
  1557. with full depth perception right there before your eyes!
  1558.  
  1559. This feature USED to be dedicated to Bruce Goren, as a bribe to get him to
  1560. send us MORE knockout stereo slides of 3D ferns, now that we have made it
  1561. so easy! Bruce, what have you done for us *LATELY* ?? (Just kidding,
  1562. really!)
  1563.  
  1564. Each line in an IFS definition (look at FRACTINT.IFS with your editor for
  1565. examples) contains the parameters for one of the generating functions,
  1566. e.g. in FERN:
  1567. ~Format-
  1568.    a    b     c    d    e    f      p
  1569.  ___________________________________
  1570.    0     0    0  .16    0    0     .01
  1571.  .85   .04 -.04  .85    0  1.6     .85
  1572.  .2   -.26  .23  .22    0  1.6     .07
  1573. -.15   .28  .26  .24    0  .44     .07
  1574.  
  1575. The values on each line define a matrix, vector, and probability:
  1576.     matrix   vector  prob
  1577.     |a b|     |e|     p
  1578.     |c d|     |f|
  1579. ~Format+
  1580.  
  1581. The "p" values are the probabilities assigned to each function (how often
  1582. it is used), which add up to one. Fractint supports up to 32 functions,
  1583. although usually three or four are enough.
  1584.  
  1585. 3D IFS definitions are a bit different.  The name is followed by (3D) in
  1586. the definition file, and each line of the definition contains 13 numbers:
  1587. a b c d e f g h i j k l p, defining:
  1588.     matrix   vector  prob\
  1589.     |a b c|   |j|     p\
  1590.     |d e f|   |k|\
  1591.     |g h i|   |l|\
  1592.  
  1593. ;You can experiment with changes to IFS definitions interactively by using
  1594. ;Fractint's <Z> command.  After selecting an IFS definition, hit <Z> to
  1595. ;bring up the IFS editor. This editor displays the current IFS values, lets
  1596. ;you modify them, and lets you save your modified values as a text file
  1597. ;which you can then merge into an XXX.IFS file for future use with
  1598. ;Fractint.
  1599. ;
  1600. The program FDESIGN can be used to design IFS fractals - see
  1601. {=@FDESIGN FDESIGN}.
  1602.  
  1603. You can save the points in your IFS fractal in the file ORBITS.RAW which is
  1604. overwritten each time a fractal is generated. The program Acrospin can
  1605. read this file and will let you view the fractal from any angle using
  1606. the cursor keys. See {=@ACROSPIN Acrospin}.
  1607. ;
  1608. ;
  1609. ~Topic=Sierpinski Gasket, Label=HT_SIER
  1610. (type=sierpinski)
  1611.  
  1612. Another pre-Mandelbrot classic, this one found by W. Sierpinski around
  1613. World War I. It is generated by dividing a triangle into four congruent
  1614. smaller triangles, doing the same to each of them, and so on, yea, even
  1615. unto infinity. (Notice how hard we try to avoid reiterating "iterating"?)
  1616.  
  1617. If you think of the interior triangles as "holes", they occupy more and
  1618. more of the total area, while the "solid" portion becomes as hopelessly
  1619. fragile as that gasket you HAD to remove without damaging it -- you
  1620. remember, that Sunday afternoon when all the parts stores were closed?
  1621. There's a three-dimensional equivalent using nested tetrahedrons instead
  1622. of triangles, but it generates too much pyramid power to be safely
  1623. unleashed yet.
  1624.  
  1625. There are no parameters for this type. We were able to implement it with
  1626. integer math routines, so it runs fairly quickly even without an FPU.
  1627. ;
  1628. ;
  1629. ~Topic=Quartic Mandelbrot/Julia, Label=HT_MANDJUL4
  1630. (type=mandel4/julia4)
  1631.  
  1632. These fractal types are the moral equivalent of the original M and J sets,
  1633. except that they use the formula Z(n+1) = Z(n)^4 + C, which adds
  1634. additional pseudo-symmetries to the plots. The "Mandel4" set maps to the
  1635. "Julia4" set via -- surprise! -- the spacebar toggle. The M4 set is kind
  1636. of boring at first (the area between the "inside" and the "outside" of the
  1637. set is pretty thin, and it tends to take a few zooms to get to any
  1638. interesting sections), but it looks nice once you get there. The Julia
  1639. sets look nice right from the start.
  1640.  
  1641. Other powers, like Z(n)^3 or Z(n)^7, work in exactly the same fashion. We
  1642. used this one only because we're lazy, and Z(n)^4 = (Z(n)^2)^2.
  1643. ;
  1644. ;
  1645. ~Topic=Distance Estimator
  1646. (distest=nnn/nnn)
  1647.  
  1648. This used to be type=demm and type=demj.  These types have not died, but
  1649. are only hiding!  They are equivalent to the mandel and julia types with
  1650. the "distest=" option selected with a predetermined value.
  1651.  
  1652. The {Distance Estimator Method}
  1653. can be used to produce higher quality images of M and J sets,
  1654. especially suitable for printing in black and white.
  1655.  
  1656. If you have some *.fra files made with the old types demm/demj, you may
  1657. want to convert them to the new form.  See the {=HT_MANDFN Mandelfn}
  1658. section for directions to carry out the conversion.
  1659. ;
  1660. ;
  1661. ~Topic=Pickover Mandelbrot/Julia Types, Label=HT_PICKMJ
  1662. (type=manfn+zsqrd/julfn+zsqrd, manzpowr/julzpowr, manzzpwr/julzzpwr,
  1663. manfn+exp/julfn+exp - formerly included man/julsinzsqrd and
  1664. man/julsinexp which have now been generalized)
  1665.  
  1666. These types have been explored by Clifford A. Pickover, of the IBM Thomas
  1667. J. Watson Research center. As implemented in Fractint, they are regular
  1668. Mandelbrot/Julia set pairs that may be plotted with or without the
  1669. {=@Biomorphs "biomorph"} option Pickover used to create organic-looking
  1670. beasties (see
  1671. below). These types are produced with formulas built from the functions
  1672. z^z, z^n, sin(z), and e^z for complex z. Types with "power" or "pwr" in
  1673. their name have an exponent value as a third parameter. For example,
  1674. type=manzpower params=0/0/2 is our old friend the classical Mandelbrot,
  1675. and type=manzpower params=0/0/4 is the Quartic Mandelbrot. Other values of
  1676. the exponent give still other fractals.  Since these WERE the original
  1677. "biomorph" types, we should give an example.  Try:
  1678.  
  1679.     FRACTINT type=manfn+zsqrd biomorph=0 corners=-8/8/-6/6 function=sin
  1680.  
  1681. to see a big biomorph digesting little biomorphs!
  1682. ;
  1683. ;
  1684. ~Topic=Pickover Popcorn, Label=HT_POPCORN
  1685. (type=popcorn/popcornjul)
  1686.  
  1687. Here is another Pickover idea. This one computes and plots the orbits of
  1688. the dynamic system defined by:
  1689.  
  1690.      x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n)+tan(3*y(n))\
  1691.      y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n)+tan(3*x(n))\
  1692.  
  1693. with the initializers x(0) and y(0) equal to ALL the complex values within
  1694. the "corners" values, and h=.01.  ALL these orbits are superimposed,
  1695. resulting in "popcorn" effect.  You may want to use a maxiter value less
  1696. than normal - Pickover recommends a value of 50.  As a bonus,
  1697. type=popcornjul shows the Julia set generated by these same equations with
  1698. the usual escape-time coloring. Turn on orbit viewing with the "O"
  1699. command, and as you watch the orbit pattern you may get some insight as to
  1700. where the popcorn comes from. Although you can zoom and rotate popcorn,
  1701. the results may not be what you'd expect, due to the superimposing of
  1702. orbits and arbitrary use of color. Just for fun we added type popcornjul,
  1703. which is the plain old Julia set calculated from the same formula.
  1704. ;
  1705. ;
  1706. ~Topic=Dynamic System, Label=HT_DYNAM
  1707. (type=dynamic, dynamic2)
  1708.  
  1709. These fractals are based on a cyclic system of differential equations:
  1710.      x'(t) = -f(y(t))\
  1711.      y'(t) = f(x(t))\
  1712. These equations are approximated by using a small time step dt, forming
  1713. a time-discrete dynamic system:
  1714.      x(n+1) = x(n) - dt*f(y(n))\
  1715.      y(n+1) = y(n) + dt*f(x(n))\
  1716. The initial values x(0) and y(0) are set to various points in the plane, 
  1717. the dynamic system is iterated, and the resulting orbit points are plotted.
  1718.  
  1719. In fractint, the function f is restricted to:
  1720.       f(k) = sin(k + a*fn1(b*k))
  1721. The parameters are the spacing of the initial points, the time step dt,
  1722. and the parameters (a,b,fn1) that affect the function f.
  1723. Normally the orbit points are plotted individually, but for a negative
  1724. spacing the points are connected.
  1725.  
  1726. This fractal is similar to the {=HT_POPCORN Pickover Popcorn}.
  1727. ~OnlineFF
  1728. A variant is the implicit Euler approximation:
  1729.      y(n+1) = y(n) + dt*f(x(n))\
  1730.      x(n+1) = x(n) - dt*f(y(n+1))\
  1731. This variant results in complex orbits.  The implicit Euler approximation
  1732. is selected by entering dt<0.
  1733.  
  1734. There are two options that have unusual effects on these fractals.  The
  1735. Orbit Delay value controls how many initial points are computed before
  1736. the orbits are displayed on the screen.  This allows the orbit to settle
  1737. down.  The outside=summ option causes each pixel to increment color every
  1738. time an orbit touches it; the resulting display is a 2-d histogram.
  1739.  
  1740. These fractals are discussed in Chapter 14 of Pickover's "Computers,
  1741. Pattern, Chaos, and Beauty".
  1742. ;
  1743. ;
  1744. ~Topic=Mandelcloud, Label=HT_MANDELCLOUD
  1745. (type=mandelcloud)
  1746.  
  1747. This fractal computes the Mandelbrot function, but displays it differently.
  1748. It starts with regularly spaced initial pixels and displays the resulting
  1749. orbits.  This idea is somewhat similar to the {=HT_DYNAM Dynamic System}.
  1750.  
  1751. There are two options that have unusual effects on this fractal.  The
  1752. Orbit Delay value controls how many initial points are computed before
  1753. the orbits are displayed on the screen.  This allows the orbit to settle
  1754. down.  The outside=summ option causes each pixel to increment color every
  1755. time an orbit touches it; the resulting display is a 2-d histogram.
  1756.  
  1757. This fractal was invented by Noel Giffin.
  1758.  
  1759. ;
  1760. ;
  1761. ~Topic=Peterson Variations, Label=HT_MARKS
  1762. (type=marksmandel, marksjulia, cmplxmarksmand, cmplxmarksjul, marksmandelpwr,
  1763. tim's_error)
  1764.  
  1765. These fractal types are contributions of Mark Peterson. MarksMandel and
  1766. MarksJulia are two families of fractal types that are linked in the same
  1767. manner as the classic Mandelbrot/Julia sets: each MarksMandel set can be
  1768. considered as a mapping into the MarksJulia sets, and is linked with the
  1769. spacebar toggle. The basic equation for these sets is:
  1770.       Z(n+1) = ((lambda^exp-1) * Z(n)^2) + lambda
  1771. where Z(0) = 0.0 and lambda is (x + iy) for MarksMandel. For MarksJulia,
  1772. Z(0) = (x + iy) and lambda is a constant (taken from the MarksMandel
  1773. spacebar toggle, if that method is used). The exponent is a positive
  1774. integer or a complex number. We call these "families" because each value
  1775. of the exponent yields a different MarksMandel set, which turns out to be
  1776. a kinda-polygon with (exponent) sides. The exponent value is the third
  1777. parameter, after the "initialization warping" values. Typically one would
  1778. use null warping values, and specify the exponent with something like
  1779. "PARAMS=0/0/5", which creates an unwarped, pentagonal MarksMandel set.
  1780.  
  1781. In the process of coding MarksMandelPwr formula type, Tim Wegner
  1782. created the type "tim's_error" after making an interesting coding mistake.
  1783. ;
  1784. ;
  1785. ~Topic=Unity, Label=HT_UNITY
  1786. (type=unity)
  1787.  
  1788. This Peterson variation began with curiosity about other "Newton-style"
  1789. approximation processes. A simple one,
  1790.  
  1791.    One = (x * x) + (y * y); y = (2 - One) * x;     x = (2 - One) * y;
  1792.  
  1793. produces the fractal called Unity.
  1794.  
  1795. One of its interesting features is the "ghost lines." The iteration loop
  1796. bails out when it reaches the number 1 to within the resolution of a
  1797. screen pixel. When you zoom a section of the image, the bailout criterion
  1798. is adjusted, causing some lines to become thinner and others thicker.
  1799.  
  1800. Only one line in Unity that forms a perfect circle: the one at a radius of
  1801. 1 from the origin. This line is actually infinitely thin. Zooming on it
  1802. reveals only a thinner line, up (down?) to the limit of accuracy for the
  1803. algorithm. The same thing happens with other lines in the fractal, such as
  1804. those around |x| = |y| = (1/2)^(1/2) = .7071
  1805.  
  1806. Try some other tortuous approximations using the {=HT_TEST TEST stub} and
  1807. let us know what you come up with!
  1808. ;
  1809. ;
  1810. ~Topic=Scott Taylor / Lee Skinner Variations, Label=HT_SCOTSKIN
  1811. (type=fn(z*z), fn*fn, fn*z+z, fn+fn, fn+fn(pix), sqr(1/fn), sqr(fn), spider,
  1812. tetrate, manowar)
  1813.  
  1814. Two of Fractint's faithful users went bonkers when we introduced the
  1815. "formula" type, and came up with all kinds of variations on escape-time
  1816. fractals using trig functions.    We decided to put them in as regular
  1817. types, but there were just too many! So we defined the types with variable
  1818. functions and let you, the overwhelmed user, specify what the functions
  1819. should be! Thus Scott Taylor's "z = sin(z) + z^2" formula type is now the
  1820. "fn+fn" regular type, and EITHER function can be one of sin, cos, tan, cotan,
  1821. sinh, cosh, tanh, cotanh, exp, log, sqr, recip, ident, conj, flip, cosxx,
  1822. asin, asinh, acos, acosh, atan, atanh, sqrt, abs, or cabs.
  1823.  
  1824. Plus we give you 4 parameters to set, the complex
  1825. coefficients of the two functions!  Thus the innocent-looking "fn+fn" type
  1826. is really 256 different types in disguise, not counting the damage
  1827. done by the parameters!
  1828.  
  1829.  Some functions that require further explanation:
  1830.  
  1831.  conj()   - returns the complex conjugate of the argument. That is, changes
  1832.             sign of the imaginary component of argument: (x,y) becomes (x,-y)
  1833.  ident()  - identity function. Leaves the value of the argument unchanged,
  1834.             acting like a "z" term in a formula.
  1835. ~OnlineFF
  1836.  flip()   - Swap the real and imaginary components of the complex number.
  1837.             e.g. (4,5) would become (5,4)
  1838.  
  1839. Lee informs us that you should not judge fractals by their "outer"
  1840. appearance. For example, the images produced by z = sin(z) + z^2 and z =
  1841. sin(z) - z^2 look very similar, but are different when you zoom in.
  1842. ;
  1843. ;
  1844. ~Topic=Kam Torus, Label=HT_KAM
  1845. (type=kamtorus, kamtorus3d)
  1846.  
  1847. This type is created by superimposing orbits generated by a set of
  1848. equations, with a variable incremented each time.
  1849.  
  1850.      x(0) = y(0) = orbit/3;\
  1851.      x(n+1) = x(n)*cos(a) + (x(n)*x(n)-y(n))*sin(a)\
  1852.      y(n+1) = x(n)*sin(a) - (x(n)*x(n)-y(n))*cos(a)\
  1853.  
  1854. After each orbit, 'orbit' is incremented by a step size. The parameters
  1855. are angle "a", step size for incrementing 'orbit', stop value for 'orbit',
  1856. and points per orbit. Try this with a stop value of 5 with sound=x for
  1857. some weird fractal music (ok, ok, fractal noise)! You will also see the
  1858. KAM Torus head into some chaotic territory that Scott Taylor wanted to
  1859. hide from you by setting the defaults the way he did, but now we have
  1860. revealed all!
  1861.  
  1862. The 3D variant is created by treating 'orbit' as the z coordinate.
  1863.  
  1864. With both variants, you can adjust the "maxiter" value (<X> options
  1865. screen or parameter maxiter=) to change the number of orbits plotted.
  1866. ;
  1867. ;
  1868. ~Topic=Bifurcation, Label=HT_BIF
  1869. (type=bifxxx)
  1870.  
  1871. The wonder of fractal geometry is that such complex forms can arise from
  1872. such simple generating processes. A parallel surprise has emerged in the
  1873. study of dynamical systems: that simple, deterministic equations can yield
  1874. chaotic behavior, in which the system never settles down to a steady state
  1875. or even a periodic loop. Often such systems behave normally up to a
  1876. certain level of some controlling parameter, then go through a transition
  1877. in which there are two possible solutions, then four, and finally a
  1878. chaotic array of possibilities.
  1879.  
  1880. This emerged many years ago in biological models of population growth.
  1881. Consider a (highly over-simplified) model in which the rate of growth is
  1882. partly a function of the size of the current population:
  1883.  
  1884. New Population =  Growth Rate * Old Population * (1 - Old Population)
  1885.  
  1886. where population is normalized to be between 0 and 1. At growth rates less
  1887. than 200 percent, this model is stable: for any starting value, after
  1888. several generations the population settles down to a stable level. But for
  1889. rates over 200 percent, the equation's curve splits or "bifurcates" into
  1890. two discrete solutions, then four, and soon becomes chaotic.
  1891.  
  1892. Type=bifurcation illustrates this model. (Although it's now considered a
  1893. poor one for real populations, it helped get people thinking about chaotic
  1894. systems.) The horizontal axis represents growth rates, from 190 percent
  1895. (far left) to 400 percent; the vertical axis normalized population values,
  1896. from 0 to 4/3. Notice that within the chaotic region, there are narrow
  1897. bands where there is a small, odd number of stable values. It turns out
  1898. that the geometry of this branching is fractal; zoom in where changing
  1899. pixel colors look suspicious, and see for yourself.
  1900.  
  1901. Three parameters apply to bifurcations: Filter Cycles, Seed Population,
  1902. and Function or Beta.
  1903.  
  1904. Filter Cycles (default 1000) is the number of iterations to be done before
  1905. plotting maxiter population values. This gives the iteration time to settle
  1906. into the characteristic patterns that constitute the bifurcation diagram,
  1907. and results in a clean-looking plot.  However, using lower values produces
  1908. interesting results too. Set Filter Cycles to 1 for an unfiltered map.
  1909.  
  1910. Seed Population (default 0.66) is the initial population value from which
  1911. all others are calculated. For filtered maps the final image is independent
  1912. of Seed Population value in the valid range (0.0 < Seed Population < 1.0).
  1913. ~OnlineFF
  1914. Seed Population becomes effective in unfiltered maps - try setting Filter
  1915. Cycles to 1 (unfiltered) and Seed Population to 0.001 ("PARAMS=1/.001" on
  1916. the command line). This results in a map overlaid with nice curves. Each
  1917. Seed Population value results in a different set of curves.
  1918.  
  1919. Function (default "ident") is the function applied to the old population
  1920. before the new population is determined. The "ident" function calculates
  1921. the same bifurcation fractal that was generated before these formulae
  1922. were generalized.
  1923.  
  1924. Beta is used in the bifmay bifurcations and is the power to which the
  1925. denominator is raised.
  1926.  
  1927. Note that fractint normally uses periodicity checking to speed up
  1928. bifurcation computation.  However, in some cases a better quality image
  1929. will be obtained if you turn off periodicity checking with "periodicity=no";
  1930. for instance, if you use a high number of iterations and a smooth
  1931. colormap.
  1932.  
  1933. Many formulae can be used to produce bifurcations.  Mitchel Feigenbaum
  1934. studied lots of bifurcations in the mid-70's, using a HP-65 calculator
  1935. (IBM PCs, Fractals, and Fractint, were all Sci-Fi then !). He studied
  1936. where bifurcations occurred, for the formula r*p*(1-p), the one described
  1937. above.    He found that the ratios of lengths of adjacent areas of
  1938. bifurcation were four and a bit.  These ratios vary, but, as the growth
  1939. rate increases, they tend to a limit of 4.669+.  This helped him guess
  1940. where bifurcation points would be, and saved lots of time.
  1941.  
  1942. When he studied bifurcations of r*sin(PI*p) he found a similar pattern,
  1943. which is not surprising in itself.  However, 4.669+ popped out, again.
  1944. Different formulae, same number ?  Now, THAT's surprising !  He tried many
  1945. other formulae and ALWAYS got 4.669+ - Hot Damn !!!  So hot, in fact, that
  1946. he phoned home and told his Mom it would make him Famous ! He also went on
  1947. to tell other scientists.  The rest is History...
  1948.  
  1949. (It has been conjectured that if Feigenbaum had a copy of Fractint, and
  1950. used it to study bifurcations, he may never have found his Number, as it
  1951. only became obvious from long perusal of hand-written lists of values,
  1952. without the distraction of wild color-cycling effects !).
  1953. ~OnlineFF
  1954. We now know that this number is as universal as PI or E. It appears in
  1955. situations ranging from fluid-flow turbulence, electronic oscillators,
  1956. chemical reactions, and even the Mandelbrot Set - yup, fraid so:
  1957. "budding" of the Mandelbrot Set along the negative real axis occurs at
  1958. intervals determined by Feigenbaum's Number, 4.669201660910.....
  1959.  
  1960. Fractint does not make direct use of the Feigenbaum Number (YET !).
  1961. However, it does now reflect the fact that there is a whole sub-species of
  1962. Bifurcation-type fractals.  Those implemented to date, and the related
  1963. formulae, (writing P for pop[n+1] and p for pop[n]) are :
  1964.  
  1965.   bifurcation  P =  p + r*fn(p)*(1-fn(p))  Verhulst Bifurcations.\
  1966.   biflambda    P =      r*fn(p)*(1-fn(p))  Real equivalent of Lambda Sets.\
  1967.   bif+sinpi    P =  p + r*fn(PI*p)         Population scenario based on...\
  1968.   bif=sinpi    P =      r*fn(PI*p)         ...Feigenbaum's second formula.\
  1969.   bifstewart   P =      r*fn(p)*fn(p) - 1  Stewart Map.\
  1970.   bifmay       P =      r*p / ((1+p)^b)    May Map.\
  1971.  
  1972. It took a while for bifurcations to appear here, despite them being over a
  1973. century old, and intimately related to chaotic systems. However, they are
  1974. now truly alive and well in Fractint!
  1975. ;
  1976. ;
  1977. ~Topic=Orbit Fractals
  1978.  
  1979. Orbit Fractals are generated by plotting an orbit path in two or three
  1980. dimensional space.
  1981.  
  1982. See {Lorenz Attractors}, {Rossler Attractors},
  1983. {Henon Attractors}, {Pickover Attractors}, {Gingerbreadman},
  1984. and {Martin Attractors}.
  1985.  
  1986. The orbit trajectory for these types can be saved in the file ORBITS.RAW
  1987. by invoking
  1988. Fractint with the "orbitsave=yes" command-line option.  This file will
  1989. be overwritten each time you generate a new fractal, so rename it if you
  1990. want to save it.  A nifty program called Acrospin can read these files and
  1991. rapidly rotate them in 3-D - see {=@ACROSPIN Acrospin}.
  1992. ;
  1993. ;
  1994. ~Topic=Lorenz Attractors, Label=HT_LORENZ
  1995. (type=lorenz/lorenz3d)
  1996.  
  1997. The "Lorenz Attractor" is a "simple" set of three deterministic equations
  1998. developed by Edward Lorenz while studying the non- repeatability of
  1999. weather patterns.  The weather forecaster's basic problem is that even
  2000. very tiny changes in initial patterns ("the beating of a butterfly's
  2001. wings" - the official term is "sensitive dependence on initial
  2002. conditions") eventually reduces the best weather forecast to rubble.
  2003.  
  2004. The lorenz attractor is the plot of the orbit of a dynamic system
  2005. consisting of three first order non-linear differential equations. The
  2006. solution to the differential equation is vector-valued function of one
  2007. variable.  If you think of the variable as time, the solution traces an
  2008. orbit.    The orbit is made up of two spirals at an angle to each other in
  2009. three dimensions. We change the orbit color as time goes on to add a
  2010. little dazzle to the image.  The equations are:
  2011.  
  2012.         dx/dt = -a*x + a*y\
  2013.         dy/dt =  b*x - y   -z*x\
  2014.         dz/dt = -c*z + x*y\
  2015.  
  2016. We solve these differential equations approximately using a method known
  2017. as the first order taylor series.  Calculus teachers everywhere will kill
  2018. us for saying this, but you treat the notation for the derivative dx/dt as
  2019. though it really is a fraction, with "dx" the small change in x that
  2020. happens when the time changes "dt".  So multiply through the above
  2021. equations by dt, and you will have the change in the orbit for a small
  2022. time step. We add these changes to the old vector to get the new vector
  2023. after one step. This gives us:
  2024.  
  2025.          xnew = x + (-a*x*dt) + (a*y*dt)\
  2026.          ynew = y + (b*x*dt) - (y*dt) - (z*x*dt)\
  2027.          znew = z + (-c*z*dt) + (x*y*dt)\
  2028.  
  2029.          (default values: dt = .02, a = 5, b = 15, c = 1)
  2030.  
  2031. We connect the successive points with a line, project the resulting 3D
  2032. orbit onto the screen, and voila! The Lorenz Attractor!
  2033.  
  2034. We have added two versions of the Lorenz Attractor.  "Type=lorenz" is the
  2035. Lorenz attractor as seen in everyday 2D.  "Type=lorenz3d" is the same set
  2036. of equations with the added twist that the results are run through our
  2037. perspective 3D routines, so that you get to view it from different angles
  2038. (you can modify your perspective "on the fly" by using the <I> command.)
  2039. If you set the "stereo" option to "2", and have red/blue funny glasses on,
  2040. you will see the attractor orbit with depth perception.
  2041.  
  2042. Hint: the default perspective values (x = 60, y = 30, z = 0) aren't the
  2043. best ones to use for fun Lorenz Attractor viewing.  Experiment a bit -
  2044. start with rotation values of 0/0/0 and then change to 20/0/0 and 40/0/0
  2045. to see the attractor from different angles.- and while you're at it, use a
  2046. non-zero perspective point Try 100 and see what happens when you get
  2047. *inside* the Lorenz orbits.  Here comes one - Duck!  While you are at it,
  2048. turn on the sound with the "X". This way you'll at least hear it coming!
  2049.  
  2050. Different Lorenz attractors can be created using different parameters.
  2051. Four parameters are used. The first is the time-step (dt). The default
  2052. value is .02. A smaller value makes the plotting go slower; a larger value
  2053. is faster but rougher. A line is drawn to connect successive orbit values.
  2054. The 2nd, third, and fourth parameters are coefficients used in the
  2055. differential equation (a, b, and c). The default values are 5, 15, and 1.
  2056. Try changing these a little at a time to see the result.
  2057. ;
  2058. ;
  2059. ~Topic=Rossler Attractors, Label=HT_ROSS
  2060. (type=rossler3D)
  2061.  
  2062. This fractal is named after the German Otto Rossler, a non-practicing
  2063. medical doctor who approached chaos with a bemusedly philosophical
  2064. attitude.  He would see strange attractors as philosophical objects. His
  2065. fractal namesake looks like a band of ribbon with a fold in it. All we can
  2066. say is we used the same calculus-teacher-defeating trick of multiplying
  2067. the equations by "dt" to solve the differential equation and generate the
  2068. orbit.    This time we will skip straight to the orbit generator - if you
  2069. followed what we did above with type {=HT_LORENZ Lorenz} you can easily
  2070. reverse engineer the differential equations.
  2071.  
  2072.          xnew = x - y*dt -     z*dt\
  2073.          ynew = y + x*dt + a*y*dt\
  2074.          znew = z + b*dt + x*z*dt - c*z*dt\
  2075.  
  2076. Default parameters are dt = .04, a = .2, b = .2, c = 5.7
  2077. ;
  2078. ;
  2079. ~Topic=Henon Attractors, Label=HT_HENON
  2080. (type=henon)
  2081.  
  2082. Michel Henon was an astronomer at Nice observatory in southern France. He
  2083. came to the subject of fractals via investigations of the orbits of
  2084. astronomical objects.  The strange attractor most often linked with
  2085. Henon's name comes not from a differential equation, but from the world of
  2086. discrete mathematics - difference equations. The Henon map is an example
  2087. of a very simple dynamic system that exhibits strange behavior. The orbit
  2088. traces out a characteristic banana shape, but on close inspection, the
  2089. shape is made up of thicker and thinner parts.    Upon magnification, the
  2090. thicker bands resolve to still other thick and thin components.  And so it
  2091. goes forever! The equations that generate this strange pattern perform the
  2092. mathematical equivalent of repeated stretching and folding, over and over
  2093. again.
  2094.  
  2095.          xnew =  1 + y - a*x*x\
  2096.          ynew =  b*x\
  2097.  
  2098. The default parameters are a=1.4 and b=.3.
  2099. ;
  2100. ;
  2101. ~Topic=Pickover Attractors, Label=HT_PICK
  2102. (type=pickover)
  2103.  
  2104. Clifford A. Pickover of the IBM Thomas J. Watson Research center is such a
  2105. creative source for fractals that we attach his name to this one only with
  2106. great trepidation.  Probably tomorrow he'll come up with another one and
  2107. we'll be back to square one trying to figure out a name!
  2108.  
  2109. This one is the three dimensional orbit defined by:
  2110.  
  2111.          xnew = sin(a*y) - z*cos(b*x)\
  2112.          ynew = z*sin(c*x) - cos(d*y)\
  2113.          znew = sin(x)\
  2114.  
  2115. Default parameters are: a = 2.24, b = .43, c = -.65, d = -2.43
  2116. ;
  2117. ;
  2118. ~Topic=Gingerbreadman, Label=HT_GINGER
  2119. (type=gingerbreadman)
  2120.  
  2121. This simple fractal is a charming example stolen from "Science of Fractal
  2122. Images", p. 149.
  2123.  
  2124.          xnew = 1 - y + |x|\
  2125.          ynew = x
  2126.  
  2127. The initial x and y values are set by parameters, defaults x=-.1, y = 0.
  2128. ;
  2129. ;
  2130. ~Topic=Martin Attractors, Label=HT_MARTIN
  2131. (type=hopalong/martin)
  2132.  
  2133. These fractal types are from A. K. Dewdney's "Computer Recreations" column
  2134. in "Scientific American". They are attributed to Barry Martin of Aston 
  2135. University in Birmingham, England. 
  2136.  
  2137. Hopalong is an "orbit" type fractal like lorenz. The image is obtained by 
  2138. iterating this formula after setting z(0) = y(0) = 0:\
  2139.       x(n+1) = y(n) - sign(x(n))*sqrt(abs(b*x(n)-c))\
  2140.       y(n+1) = a - x(n)\
  2141. Parameters are a, b, and c. The function "sign()"  returns 1 if the argument 
  2142. is positive, -1 if argument is negative.
  2143.  
  2144. This fractal continues to develop in surprising ways after many iterations.
  2145.  
  2146. Another Martin fractal is simpler. The iterated formula is:\
  2147.       x(n+1) = y(n) - sin(x(n))\
  2148.       y(n+1) = a - x(n)\
  2149. The parameter is "a". Try values near the number pi.
  2150.  
  2151. Michael Peters has based the HOP program on variations of these Martin types.
  2152. You will find three of these here: chip, quadruptwo, and threeply.
  2153. ;
  2154. ;
  2155. ;
  2156. ~Topic=Icon, Label=HT_ICON
  2157. (type=icon/icon3d)
  2158.  
  2159.   This fractal type was inspired by the book "Symmetry in Chaos"
  2160.   by Michael Field and Martin Golubitsky (ISBN 0-19-853689-5, Oxford Press)
  2161.  
  2162.   To quote from the book's jacket,
  2163.  
  2164.     "Field and Golubitsky describe how a chaotic process eventually can
  2165.     lead to symmetric patterns (in a river, for instance, photographs of
  2166.     the turbulent movement of eddies, taken over time, often reveal
  2167.     patterns on the average."
  2168.  
  2169.   The Icon type implemented here maps the classic population logistic
  2170.   map of bifurcation fractals onto the complex plane in Dn symmetry.
  2171.  
  2172.   The initial points plotted are the more chaotic initial orbits, but
  2173.   as you wait, delicate webs will begin to form as the orbits settle
  2174.   into a more periodic pattern.  Since pixels are colored by the number
  2175.   of times they are hit, the more periodic paths will become clarified
  2176.   with time.  These fractals run continuously.
  2177.  
  2178. There are 6 parameters:  Lambda, Alpha, Beta, Gamma, Omega, and Degree
  2179.     Omega  0 = Dn, or dihedral (rotation + reflectional) symmetry
  2180.           !0 = Zn, or cyclic (rotational) symmetry
  2181.     Degree = n, or Degree of symmetry
  2182. ;
  2183. ;
  2184. ;
  2185. ~Topic=Quaternion, Label=HT_QUAT
  2186. (type=quat,quatjul)
  2187.  
  2188. These fractals are based on quaternions.  Quaternions are an extension of
  2189. complex numbers, with 4 parts instead of 2.  That is, a quaternion Q
  2190. equals a+ib+jc+kd, where a,b,c,d are reals.  Quaternions have rules for
  2191. addition and multiplication.  The normal Mandelbrot and Julia formulas
  2192. can be generalized to use quaternions instead of complex numbers.
  2193.  
  2194. There is one complication.  Complex numbers have 2 parts, so they can
  2195. be displayed on a plane.  Quaternions have 4 parts, so they require 4
  2196. dimensions to view.  That is, the quaternion Mandelbrot set is actually a
  2197. 4-dimensional object.  Each quaternion C generates a 4-dimensional Julia set.
  2198.  
  2199. One method of displaying the 4-dimensional object is to take a 3-dimensional
  2200. slice and render the resulting object in 3-dimensional perspective.
  2201. Fractint isn't that sophisticated, so it merely displays a 2-dimensional
  2202. slice of the resulting object. (Note: Now Fractint is that sophisticated! 
  2203. See the Julibrot type!)
  2204.  
  2205. In fractint, for the Julia set, you can specify the four parameters
  2206. of the quaternion constant: c=(c1,ci,cj,ck), but the 2-dimensional slice 
  2207. of the z-plane Julia set is fixed to (xpixel,ypixel,0,0).
  2208.  
  2209. For the Mandelbrot set, you can specify the position of the c-plane slice:
  2210. (xpixel,ypixel,cj,ck).
  2211.  
  2212. These fractals are discussed in Chapter 10 of Pickover's "Computers,
  2213. Pattern, Chaos, and Beauty".
  2214.  
  2215. See also {HyperComplex} and { Quaternion and Hypercomplex Algebra }
  2216.  
  2217. ;
  2218. ;
  2219. ~Topic=HyperComplex, Label=HT_HYPERC
  2220. (type=hypercomplex,hypercomplexj)
  2221.  
  2222. These fractals are based on hypercomplex numbers, which like quaternions
  2223. are a four dimensional generalization of complex numbers. It is not 
  2224. possible to fully generalize the complex numbers to four dimensions without
  2225. sacrificing some of the algebraic properties shared by real and complex 
  2226. numbers. Quaternions violate the commutative law of multiplication, which 
  2227. says z1*z2 = z2*z1. Hypercomplex numbers fail the rule that says all non-zero
  2228. elements have multiplicative inverses - that is, if z is not 0, there
  2229. should be a number 1/z such that (1/z)*(z) = 1. This law holds most of the
  2230. time but not all the time for hypercomplex numbers. 
  2231.  
  2232. However hypercomplex numbers have a wonderful property for fractal purposes.
  2233. Every function defined for complex numbers has a simple generalization 
  2234. to hypercomplex numbers. Fractint's implementation takes advantage of this
  2235. by using "fn" variables - the iteration formula is\
  2236.     h(n+1) = fn(h(n)) + C.\
  2237. where "fn" is the hypercomplex generalization of sin, cos, log, sqr etc.
  2238. ~OnlineFF
  2239. You can see 3D versions of these fractals using fractal type Julibrot.
  2240. Hypercomplex numbers were brought to our attention by Clyde Davenport,
  2241. author of "A Hypercomplex Calculus with Applications to Relativity",
  2242. ISBN 0-9623837-0-8.
  2243.  
  2244. See also {Quaternion} and { Quaternion and Hypercomplex Algebra }
  2245.  
  2246. ;
  2247. ;
  2248.  
  2249. ~Topic=Cellular Automata, Label=HT_CELLULAR
  2250. (type=cellular)
  2251.  
  2252. These fractals are generated by 1-dimensional cellular automata.  Consider
  2253. a 1-dimensional line of cells, where each cell can have the value 0 or 1.
  2254. In each time step, the new value of a cell is computed from the old value
  2255. of the cell and the values of its neighbors.  On the screen, each horizontal
  2256. row shows the value of the cells at any one time.  The time axis proceeds
  2257. down the screen, with each row computed from the row above.
  2258.  
  2259. Different classes of cellular automata can be described by how many different
  2260. states a cell can have (k), and how many neighbors on each side are examined
  2261. (r).  Fractint implements the binary nearest neighbor cellular automata
  2262. (k=2,r=1), the binary next-nearest neighbor cellular automata (k=2,r=2),
  2263. and the ternary nearest neighbor cellular automata (k=3,r=1) and several
  2264. others.
  2265.  
  2266. The rules used here determine the next state of a given cell by using the
  2267. sum of the states in the cell's neighborhood.  The sum of the cells in the
  2268. neighborhood are mapped by rule to the new value of the cell.  For the
  2269. binary nearest neighbor cellular automata, only the closest neighbor on
  2270. each side is used.  This results in a 4 digit rule controlling the
  2271. generation of each new line:  if each of the cells in the neighborhood is
  2272. 1, the maximum sum is 1+1+1 = 3 and the sum can range from 0 to 3, or 4
  2273. values.  This results in a 4 digit rule.  For instance, in the rule 1010,
  2274. starting from the right we have 0->0, 1->1, 2->0, 3->1.  If the cell's
  2275. neighborhood sums to 2, the new cell value would be 0.
  2276.  
  2277. For the next-nearest cellular automata (kr = 22), each pixel is determined
  2278. from the pixel value and the two neighbors on each side.  This results in
  2279. a 6 digit rule.
  2280.  
  2281. For the ternary nearest neighbor cellular automata (kr = 31), each cell
  2282. can have the value 0, 1, or 2.  A single neighbor on each side is examined,
  2283. resulting in a 7 digit rule.
  2284.  
  2285.   kr  #'s in rule  example rule     | kr  #'s in rule  example rule\
  2286.   21      4        1010             | 42     16        2300331230331001\
  2287.   31      7        1211001          | 23      8        10011001\
  2288.   41     10        3311100320       | 33     15        021110101210010\
  2289.   51     13        2114220444030    | 24     10        0101001110\
  2290.   61     16        3452355321541340 | 25     12        110101011001\
  2291.   22      6        011010           | 26     14        00001100000110\
  2292.   32     11        21212002010      | 27     16        0010000000000110\
  2293.  
  2294. The starting row of cells can be set to a pattern of up to 16 digits or to a
  2295. random pattern.  The borders are set to zeros if a pattern is entered or are
  2296. set randomly if the starting row is set randomly.
  2297.  
  2298. A zero rule will randomly generate the rule to use.
  2299.  
  2300. Hitting the space bar toggles between continuously generating the cellular
  2301. automata and stopping at the end of the current screen.
  2302.  
  2303. Recommended reading:
  2304. "Computer Software in Science and Mathematics", Stephen Wolfram, Scientific
  2305. American, September, 1984.
  2306. "Abstract Mathematical Art", Kenneth E. Perry, BYTE, December, 1986.
  2307. "The Armchair Universe", A. K. Dewdney, W. H. Freeman and Company, 1988.
  2308. "Complex Patterns Generated by Next Nearest Neighbors Cellular Automata",
  2309. Wentian Li, Computers & Graphics, Volume 13, Number 4.
  2310. ;
  2311. ;
  2312. ~Topic=Ant Automaton, Label=HT_ANT
  2313. (type=ant)
  2314.  
  2315. This fractal type is the generalized Ant Automaton described in the "Computer
  2316. Recreations" column of the July 1994 Scientific American. The article 
  2317. attributes this automaton to Greg Turk of Stanford University, Leonid A.
  2318. Bunivomitch of the Georgia Institute of Technology, and S. E. Troubetzkoy of
  2319. the University of Bielefeld. 
  2320.  
  2321. The ant wanders around the screen, starting at the middle. A rule string, 
  2322. which the user can input as Fractint's first parameter, determines the ant's 
  2323. direction. This rule string is stored as a double precision number in our 
  2324. implementation. Only the digit 1 is significant -- all other digits are 
  2325. treated as 0. When the ant leaves a cell (a pixel on the screen) of color k, 
  2326. it turns right if the kth symbol in the rule string is a 1, or left otherwise.
  2327. Then the color in the abandoned cell is incremented. Fractint's 2nd parameter
  2328. is a maximum iteration to guarantee that the fractal will terminate. Our 
  2329. implementation also terminates when the edge is reached. You can slow down
  2330. the ant to see her better using the <x> screen Orbit Delay - try 10.
  2331.  
  2332. Try rule string 10. In this case, the ant moves in a seemingly random pattern,
  2333. then suddenly marches off in a straight line. This happens for many other
  2334. rule strings. The default 1100 produces symmetrical images.
  2335.  
  2336. If the screen initially contains an image, the path of the ant changes. To
  2337. try this, generate a fractal, and press <Ctrl-a>. Note that images 
  2338. seeded with an image are not (yet) reproducible in PAR files. When started 
  2339. using the <Ctrl-a> keys, after the ant is finished the default fractal 
  2340. type reverts to that of the underlying fractal.
  2341.  
  2342. ~Label=ANTCOMMANDS
  2343. Special keystrokes are in effect during the ant's march. The <space> key
  2344. toggles a step-by-step mode. When in this mode, press <enter> to see each step
  2345. of the ant's progress. When orbit delay (on <x> screen) is set to 1, the step 
  2346. mode is the default.
  2347.  
  2348. If you press the right or left arrow diuring the ant's journey, you can
  2349. adjust the orbit delay factor with the arrow keys (increment by 10) or 
  2350. ctrl-arrow keys (increment by 100). Press any other key to get out of the 
  2351. orbit delay adjustment mode. Higher values cause slower motion. Changed values
  2352. are not saved after the ant is finished, but you can set the orbit delay
  2353. value in advance from the <x> screen.
  2354. ;
  2355. ;
  2356. ;
  2357. ~Topic=Test, Label=HT_TEST
  2358. (type=test)
  2359.  
  2360. This is a stub that we (and you!) use for trying out new fractal types.
  2361. "Type=test" fractals make use of Fractint's structure and features for
  2362. whatever code is in the routine 'testpt()' (located in the small source
  2363. file TESTPT.C) to determine the color of a particular pixel.
  2364.  
  2365. If you have a favorite fractal type that you believe would fit nicely into
  2366. Fractint, just rewrite the C function in TESTPT.C (or use the prototype
  2367. function there, which is a simple M-set implementation) with an algorithm
  2368. that computes a color based on a point in the complex plane.
  2369.  
  2370. After you get it working, send your code to one of the authors and we
  2371. might just add it to the next release of Fractint, with full credit to
  2372. you. Our criteria are: 1) an interesting image and 2) a formula
  2373. significantly different from types already supported. (Bribery may also
  2374. work. THIS author is completely honest, but I don't trust those other
  2375. guys.) Be sure to include an explanation of your algorithm and the
  2376. parameters supported, preferably formatted as you see here to simplify
  2377. folding it into the documentation.
  2378. ;
  2379. ;
  2380. ~Topic=Formula, Label=HT_FORMULA
  2381. (type=formula)
  2382.  
  2383. This is a "roll-your-own" fractal interpreter - you don't even need a
  2384. compiler!
  2385.  
  2386. To run a "type=formula" fractal, you first need a text file containing
  2387. formulas (there's a sample file - FRACTINT.FRM - included with this
  2388. distribution).    When you select the "formula" fractal type, Fractint scans
  2389. the current formula file (default is FRACTINT.FRM) for formulas, then
  2390. prompts you for the formula name you wish to run.  After prompting for any
  2391. parameters, the formula is parsed for syntax errors and then the fractal
  2392. is generated. If you want to use a different formula file, press <F6> when
  2393. you are prompted to select a formula name.
  2394.  
  2395. There are two command-line options that work with type=formula
  2396. ("formulafile=" and "formulaname="), useful when you are using this
  2397. fractal type in batch mode.
  2398.  
  2399. The following documentation is supplied by Mark Peterson, who wrote the
  2400. formula interpreter:
  2401.  
  2402. Formula fractals allow you to create your own fractal formulas.  The
  2403. general format is:
  2404.  
  2405.    Mandelbrot(XAXIS) \{ z = Pixel:  z = sqr(z) + pixel, |z| <= 4 \}\
  2406.       |     |       |            |           |\
  2407.      Name     Symmetry      Initial      Iteration      Bailout\
  2408.               Condition              Criteria\
  2409.  
  2410. Initial conditions are set, then the iterations performed while the
  2411. bailout criteria remains true or until 'z' turns into a periodic loop.
  2412. All variables are created automatically by their usage and treated as
  2413. complex.  If you declare 'v = 2' then the variable 'v' is treated as a
  2414. complex with an imaginary value of zero.
  2415.  
  2416. ~Format-
  2417.       Predefined Variables (x, y)
  2418.       --------------------------------------------
  2419.       z          used for periodicity checking
  2420.       p1         parameters 1 and 2
  2421.       p2         parameters 3 and 4
  2422.       p3         parameters 5 and 6
  2423.       pixel      screen coordinates
  2424.           LastSqr    Modulus from the last sqr() function
  2425.           rand       Complex random number
  2426.  
  2427.           Precedence
  2428.           --------------------------------------------
  2429.           1          sin(), cos(), sinh(), cosh(), cosxx(), tan(), cotan(), 
  2430.                      tanh(), cotanh(), sqr(), log(), exp(), abs(), conj(), 
  2431.                      real(), imag(), flip(), fn1(), fn2(), fn3(), fn4(), 
  2432.                      srand(), asin(), asinh(), acos(), acosh(), atan(), 
  2433.                      atanh(), sqrt(), cabs()
  2434.           2          - (negation), ^ (power)
  2435.           3          * (multiplication), / (division)
  2436.           4          + (addition), - (subtraction)
  2437.           5          = (assignment)
  2438.           6          < (less than), <= (less than or equal to)
  2439.                      > (greater than), >= (greater than or equal to)
  2440.                      == (equal to), != (not equal to)
  2441.           7          && (logical AND), || (logical OR)
  2442. ~Format+
  2443.  
  2444. Precedence may be overridden by use of parenthesis.  Note the modulus squared 
  2445. operator |z| is also parenthetic and always sets the imaginary component to 
  2446. zero.  This means 'c * |z - 4|' first subtracts 4 from z, calculates the 
  2447. modulus squared then multiplies times 'c'.  Nested modulus squared operators 
  2448. require overriding parenthesis: c * |z + (|pixel|)|\
  2449.  
  2450. The functions fn1(...) to fn4(...) are variable functions - when used,
  2451. the user is prompted at run time (on the <Z> screen) to specify one of
  2452. sin, cos, sinh, cosh, exp, log, sqr, etc. for each required variable function.
  2453.  
  2454. Most of the functions have their conventional meaning, here are a few notes on
  2455. others that are not conventional. The function cosxx() duplicates a bug in the 
  2456. version 16 cos() function. Then abs(x+iy) = abs(x)+i*abs(y), flip(x+iy) = 
  2457. y+i*x, and |x+iy| = x*x+y*y. 
  2458.  
  2459. The formulas are performed using either integer or floating point
  2460. mathematics depending on the <F> floating point toggle.  If you do not
  2461. have an FPU then type MPC math is performed in lieu of traditional
  2462. floating point.
  2463.  
  2464. The 'rand' predefined variable is changed with each iteration to a new
  2465. random number with the real and imaginary components containing a value
  2466. between zero and 1. Use the srand() function to initialize the random
  2467. numbers to a consistent random number sequence.  If a formula does not
  2468. contain the srand() function, then the formula compiler will use the system
  2469. time to initialize the sequence.  This could cause a different fractal to be
  2470. generated each time the formula is used depending on how the formula is
  2471. written.
  2472.  
  2473. Remember that when using integer math there is a limited dynamic range, so
  2474. what you think may be a fractal could really be just a limitation of the
  2475. integer math range.  God may work with integers, but His dynamic range is
  2476. many orders of magnitude greater than our puny 32 bit mathematics!  Always
  2477. verify with the floating point <F> toggle.
  2478.  
  2479. The possible values for symmetry are:\
  2480.  
  2481. XAXIS,  XAXIS_NOPARM\
  2482. YAXIS,  YAXIS_NOPARM\
  2483. XYAXIS, XYAXIS_NOPARM\
  2484. ORIGIN, ORIGIN_NOPARM\
  2485. PI_SYM, PI_SYM_NOPARM\
  2486. XAXIS_NOREAL\
  2487. XAXIS_NOIMAG\
  2488.  
  2489. These will force the symmetry even if no symmetry is actually present, so try
  2490. your formulas without symmetry before you use these.
  2491.  
  2492. For mathematical formulas of functions used in the parser language, see\
  2493. { Trig Identities}
  2494. ;
  2495. ;
  2496. ~Topic=Frothy Basins, Label=HT_FROTH
  2497. (type=frothybasin)
  2498.  
  2499. Frothy Basins, or Riddled Basins, were discovered by James C. Alexander of
  2500. the University of Maryland.  The discussion below is derived from a two page
  2501. article entitled "Basins of Froth" in Science News, November 14, 1992 and
  2502. from correspondence with others, including Dr. Alexander.
  2503.  
  2504. The equations that generate this fractal are not very different from those
  2505. that generate many other orbit fractals.
  2506.  
  2507. ~Format-
  2508.       Z(0) = pixel;
  2509.       Z(n+1) = Z(n)^2 - C*conj(Z(n))
  2510.       where C = 1 + A*i
  2511. ~Format+
  2512.  
  2513. One of the things that makes this fractal so interesting is the shape of
  2514. the dynamical system's attractors.  It is not at all uncommon for a
  2515. dynamical system to have non-point attractors.  Shapes such as circles are
  2516. very common.  Strange attractors are attractors which are themselves
  2517. fractal.  What is unusual about this system, however, is that the
  2518. attractors intersect.  This is the first case in which such a phenomenon
  2519. has been observed.  The attractors for this system are made up of line
  2520. segments which overlap to form an equilateral triangle.  This attractor
  2521. triangle can be seen by using the "show orbits" option (the 'o' key) or
  2522. the "orbits window" option (the ctrl-'o' key).
  2523.  
  2524. The number of attractors present is dependant on the value of A, the
  2525. imaginary part of C.  For values where A <= 1.028713768218725..., there
  2526. are three attractors.  When A is larger than this critical value, two of
  2527. attractors merge into one, leaving only two attractors.  An interesting
  2528. variation on this fractal can be generated by applying the above mapping
  2529. twice per each iteration.  The result is that some of the attractors are
  2530. split into two parts, giving the system either six or three attractors,
  2531. depending on whether A is less than or greater than the critical value.
  2532.  
  2533. These are also called "Riddled Basins" because each basin is riddled with
  2534. holes.  Which attractor a point is eventually pulled into is extremely
  2535. sensitive to its initial position.  A very slight change in any direction
  2536. may cause it to end up on a different attractor.  As a result, the basins
  2537. are thoroughly intermingled. The effect appears to be a frothy mixture that
  2538. has been subjected to lots of stirring and folding.
  2539.  
  2540. Pixel color is determined by which attractor captures the orbit.  The shade
  2541. of color is determined by the number of iterations required to capture the
  2542. orbit.  In Fractint, the actual shade of color used depends on how many
  2543. colors are available in the video mode being used.  If 256 colors are
  2544. available, the default coloring scheme is determined by the number of
  2545. iterations that were required to capture the orbit.  An alternative
  2546. coloring scheme can be used where the shade is determined by the
  2547. iterations required divided by the maximum iterations.  This method is
  2548. especially useful on deeply zoomed images.  If only 16 colors are
  2549. available, then only the alternative coloring scheme is used.  If fewer
  2550. than 16 colors are available, then Fractint just colors the basins without
  2551. any shading.
  2552. ;
  2553. ;
  2554. ~Topic=Julibrots, Label=HT_JULIBROT
  2555. (type=julibrot)
  2556.  
  2557. The Julibrot fractal type uses a general-purpose renderer for visualizing 
  2558. three dimensional solid fractals. Originally Mark Peterson developed
  2559. this rendering mechanism to view a 3-D sections of a 4-D structure he
  2560. called a "Julibrot".  This structure, also called "layered Julia set" in 
  2561. the fractal literature, hinges on the relationship between the Mandelbrot 
  2562. and Julia sets. Each Julia set is created using a fixed value c in the 
  2563. iterated formula z^2 + c. The Julibrot is created by layering Julia sets 
  2564. in the x-y plane and continuously varying c, creating new Julia sets as z is
  2565. incremented. The solid shape thus created is rendered by shading the surface 
  2566. using a brightness inversely proportional to the virtual viewer's eye. 
  2567.  
  2568. Starting with Fractint version 18, the Julibrot engine can be used
  2569. with other Julia formulas besides the classic z^2 + c. The first field on 
  2570. the Julibrot parameter screen lets you select which orbit formula to use.
  2571.  
  2572. You can also use the Julibrot renderer to visualize 3D cross sections of
  2573. true four dimensional Quaternion and Hypercomplex fractals. 
  2574.  
  2575. The Julibrot Parameter Screens
  2576.  
  2577. Orbit Algorithm - select the orbit algorithm to use. The available 
  2578.    possibilities include 2-D Julia and both mandelbrot and Julia variants
  2579.    of the 4-D Quaternion and Hypercomplex fractals.
  2580.  
  2581. Orbit parameters - the next screen lets you fill in any parameters 
  2582.    belonging to the orbit algorithm. This list of parameters is not
  2583.    necessarily the same as the list normally presented for the orbit
  2584.    algorithm, because some of these parameters are used in the Julibrot
  2585.    layering process. 
  2586.  
  2587.    From/To Parameters
  2588.    These parameters allow you to specify the "Mandelbrot" values used to
  2589.    generate the layered Julias. The parameter c in the Julia formulas will
  2590.    be incremented in steps ranging from the "from" x and y values to the
  2591.    "to" x and y values. If the orbit formula is one of the "true" four 
  2592.    dimensional fractal types quat, quatj, hypercomplex, or hypercomplexj, 
  2593.    then these numbers are used with the 3rd and 4th dimensional values.
  2594.  
  2595.    The "from/to" variables are different for the different kinds of orbit
  2596.    algorithm.
  2597.  
  2598.       2D Julia sets - complex number formula z' = f(z) + c\
  2599.          The "from/to" parameters change the values of c.\
  2600.       4D Julia sets - Quaternion or Hypercomplex formula z' = f(z) + c\
  2601.          The four dimensions of c are set by the orbit parameters.\
  2602.          The first two dimensions of z are determined by the corners values.\
  2603.          The third and fourth dimensions of z are the "to/from" variables.\
  2604.       4D Mandelbrot sets - Quaternion or Hypercomplex formula z' = f(z) + c\
  2605.          The first two dimensions of c are determined by the corners values.\
  2606.          The third and fourth dimensions of c are the "to/from" variables.\
  2607.  
  2608. Distance between the eyes - set this to 2.5 if you want a red/blue
  2609.    anaglyph image, 0 for a normal greyscale image.
  2610.  
  2611. Number of z pixels - this sets how many layers are rendered in the screen
  2612.    z-axis. Use a higher value with higher resolution video modes.
  2613.  
  2614. The remainder of the parameters are needed to construct the red/blue
  2615. picture so that the fractal appears with the desired depth and proper 'z'
  2616. location.  With the origin set to 8 inches beyond the screen plane and the
  2617. depth of the fractal at 8 inches the default fractal will appear to start
  2618. at 4 inches beyond the screen and extend to 12 inches if your eyeballs are
  2619. 2.5 inches apart and located at a distance of 24 inches from the screen.
  2620. The screen dimensions provide the reference frame.
  2621.  
  2622. ;
  2623. ;
  2624. ~Topic=Diffusion Limited Aggregation, Label=HT_DIFFUS
  2625. (type=diffusion)
  2626.  
  2627. This type begins with a single point in the center of the screen.
  2628. Subsequent points move around randomly until coming into contact with the
  2629. first point, at which time their locations are fixed and they are colored
  2630. randomly.  This process repeats until the fractals reaches the edge of the
  2631. screen.  Use the show orbits function to see the points' random motion.
  2632.  
  2633. One unfortunate problem is that on a large screen, this process will tend
  2634. to take eons.  To speed things up, the points are restricted to a box
  2635. around the initial point.  The first and only parameter to diffusion
  2636. contains the size of the border between the fractal and the edge of the
  2637. box.  If you make this number small, the fractal will look more solid and
  2638. will be generated more quickly.
  2639.  
  2640. Diffusion was inspired by a Scientific American article a couple of years
  2641. back which includes actual pictures of real physical phenomena that behave
  2642. like this.
  2643.  
  2644. Thanks to Adrian Mariano for providing the diffusion code and
  2645. documentation. Juan J. Buhler added the additional options.
  2646. ;
  2647. ;
  2648. ~Topic=Lyapunov Fractals, Label=HT_LYAPUNOV
  2649. (type=lyapunov)
  2650.  
  2651. The Bifurcation fractal illustrates what happens in a simple population
  2652. model as the growth rate increases.  The Lyapunov fractal expands that model
  2653. into two dimensions by letting the growth rate vary in a periodic fashion
  2654. between two values.  Each pair of growth rates is run through a logistic
  2655. population model and a value called the Lyapunov Exponent is calculated for
  2656. each pair and is plotted. The Lyapunov Exponent is calculated by adding up
  2657. log | r - 2*r*x| over many cycles of the population model and dividing by the
  2658. number of cycles. Negative Lyapunov exponents indicate a stable, periodic
  2659. behavior and are plotted in color. Positive Lyapunov exponents indicate
  2660. chaos (or a diverging model) and are colored black.
  2661.  
  2662. Order parameter.
  2663. Each possible periodic sequence yields a two dimensional space to explore.
  2664. The Order parameter selects a sequence.  The default value 0 represents the
  2665. sequence ab which alternates between the two values of the growth parameter.
  2666. On the screen, the a values run vertically and the b values run
  2667. horizontally. Here is how to calculate the space parameter for any desired
  2668. sequence.  Take your sequence of a's and b's and arrange it so that it starts
  2669. with at least 2 a's and ends with a b. It may be necessary to rotate the
  2670. sequence or swap a's and b's. Strike the first a and the last b off the list
  2671. and replace each remaining a with a 1 and each remaining b with a zero.
  2672. Interpret this as a binary number and convert it into decimal.
  2673.  
  2674. An Example.
  2675. I like sonnets.  A sonnet is a poem with fourteen lines that has the
  2676. following rhyming sequence: abba abba abab cc.  Ignoring the rhyming couplet
  2677. at the end, let's calculate the Order parameter for this pattern.
  2678.  
  2679.   abbaabbaabab         doesn't start with at least 2 a's \
  2680.   aabbaabababb         rotate it \
  2681.   1001101010           drop the first and last, replace with 0's and 1's \
  2682.   512+64+32+8+2 = 618
  2683.  
  2684. An Order parameter of 618 gives the Lyapunov equivalent of a sonnet.  "How do
  2685. I make thee? Let me count the ways..."
  2686.  
  2687. Population Seed.
  2688. When two parts of a Lyapunov overlap, which spike overlaps which is strongly
  2689. dependent on the initial value of the population model.  Any changes from
  2690. using a different starting value between 0 and 1 may be subtle. The values 0
  2691. and 1 are interpreted in a special manner. A Seed of 1 will choose a random
  2692. number between 0 and 1 at the start of each pixel. A Seed of 0 will suppress
  2693. resetting the seed value between pixels unless the population model diverges
  2694. in which case a random seed will be used on the next pixel.
  2695.  
  2696. Filter Cycles.
  2697. Like the Bifurcation model, the Lyapunov allow you to set the number of
  2698. cycles that will be run to allow the model to approach equilibrium before
  2699. the lyapunov exponent calculation is begun. The default value of 0 uses one
  2700. half of the iterations before beginning the calculation of the exponent.
  2701.  
  2702. Reference.
  2703. A.K. Dewdney, Mathematical Recreations, Scientific American, Sept. 1991
  2704. ;
  2705. ;
  2706. ~Topic=Magnetic Fractals, Label=HT_MAGNET
  2707. (type=magnet1m/.../magnet2j)
  2708.  
  2709. These fractals use formulae derived from the study of hierarchical
  2710. lattices, in the context of magnetic renormalisation transformations.
  2711. This kinda stuff is useful in an area of theoretical physics that deals
  2712. with magnetic phase-transitions (predicting at which temperatures a given
  2713. substance will be magnetic, or non-magnetic).  In an attempt to clarify
  2714. the results obtained for Real temperatures (the kind that you and I can
  2715. feel), the study moved into the realm of Complex Numbers, aiming to spot
  2716. Real phase-transitions by finding the intersections of lines representing
  2717. Complex phase-transitions with the Real Axis.  The first people to try
  2718. this were two physicists called Yang and Lee, who found the situation a
  2719. bit more complex than first expected, as the phase boundaries for Complex
  2720. temperatures are (surprise!) fractals.
  2721.  
  2722. And that's all the technical (?) background you're getting here!  For more
  2723. details (are you SERIOUS ?!) read "The Beauty of Fractals".  When you
  2724. understand it all, you might like to rewrite this section, before you
  2725. start your new job as a professor of theoretical physics...
  2726.  
  2727. In Fractint terms, the important bits of the above are "Fractals",
  2728. "Complex Numbers", "Formulae", and "The Beauty of Fractals".  Lifting the
  2729. Formulae straight out of the Book and iterating them over the Complex
  2730. plane (just like the Mandelbrot set) produces Fractals.
  2731.  
  2732. The formulae are a bit more complicated than the Z^2+C used for the
  2733. Mandelbrot Set, that's all.  They are :
  2734.  
  2735. ~Format-
  2736.           [          ] 2
  2737.           |  Z^2 + (C-1)  |
  2738.     MAGNET1 : | ------------- | 
  2739.           |  2*Z + (C-2)  |
  2740.           [          ]
  2741.  
  2742.           [                        ] 2
  2743.           |     Z^3 + 3*(C-1)*Z + (C-1)*(C-2)        |
  2744.     MAGNET2 : | --------------------------------------- | 
  2745.           |  3*(Z^2) + 3*(C-2)*Z + (C-1)*(C-2) + 1  |
  2746.           [                        ]
  2747. ~Format+
  2748.  
  2749. These aren't quite as horrific as they look (oh yeah ?!) as they only
  2750. involve two variables (Z and C), but cubing things, doing division, and
  2751. eventually squaring the result (all in Complex Numbers) don't exactly
  2752. spell S-p-e-e-d !  These are NOT the fastest fractals in Fractint !
  2753.  
  2754. As you might expect, for both formulae there is a single related
  2755. Mandelbrot-type set (magnet1m, magnet2m) and an infinite number of related
  2756. Julia-type sets (magnet1j, magnet2j), with the usual toggle between the
  2757. corresponding Ms and Js via the spacebar.
  2758.  
  2759. If you fancy delving into the Julia-types by hand, you will be prompted
  2760. for the Real and Imaginary parts of the parameter denoted by C.  The
  2761. result is symmetrical about the Real axis (and therefore the initial image
  2762. gets drawn in half the usual time) if you specify a value of Zero for the
  2763. Imaginary part of C.
  2764.  
  2765. Fractint Historical Note:  Another complication (besides the formulae) in
  2766. implementing these fractal types was that they all have a finite attractor
  2767. (1.0 + 0.0i), as well as the usual one (Infinity).  This fact spurred the
  2768. development of Finite Attractor logic in Fractint.  Without this code you
  2769. can still generate these fractals, but you usually end up with a pretty
  2770. boring image that is mostly deep blue "lake", courtesy of Fractint's
  2771. standard {Periodicity Logic}.
  2772. See {Finite Attractors} for more
  2773. information on this aspect of Fractint internals.
  2774.  
  2775. (Thanks to Kevin Allen for Magnetic type documentation above).
  2776. ;
  2777. ;
  2778. ~Topic=L-Systems, Label=HT_LSYS
  2779. (type=lsystem)
  2780.  
  2781. These fractals are constructed from line segments using rules specified in
  2782. drawing commands.  Starting with an initial string, the axiom,
  2783. transformation rules are applied a specified number of times, to produce
  2784. the final command string which is used to draw the image.
  2785.  
  2786. Like the type=formula fractals, this type requires a separate data file.
  2787. A sample file, FRACTINT.L, is included with this distribution.    When you
  2788. select type lsystem, the current lsystem file is read and you are asked
  2789. for the lsystem name you wish to run. Press <F6> at this point if you wish
  2790. to use a different lsystem file. After selecting an lsystem, you are asked
  2791. for one parameter - the "order", or number of times to execute all the
  2792. transformation rules.  It is wise to start with small orders, because the
  2793. size of the substituted command string grows exponentially and it is very
  2794. easy to exceed your resolution.  (Higher orders take longer to generate
  2795. too.)  The command line options "lname=" and "lfile=" can be used to over-
  2796. ride the default file name and lsystem name.
  2797.  
  2798. Each L-System entry in the file contains a specification of the angle, the
  2799. axiom, and the transformation rules.  Each item must appear on its own
  2800. line and each line must be less than 160 characters long.
  2801.  
  2802. The statement "angle n" sets the angle to 360/n degrees; n must be an
  2803. integer greater than two and less than fifty.
  2804.  
  2805. "Axiom string" defines the axiom.
  2806.  
  2807. Transformation rules are specified as "a=string" and convert the single
  2808. character 'a' into "string."  If more than one rule is specified for a
  2809. single character all of the strings will be added together.  This allows
  2810. specifying transformations longer than the 160 character limit.
  2811. Transformation rules may operate on any characters except space, tab or
  2812. '}'.
  2813.  
  2814. Any information after a ; (semi-colon) on a line is treated as a comment.
  2815.  
  2816. Here is a sample lsystem:
  2817.  
  2818. ~Format-
  2819. Dragon \{      ; Name of lsystem, \{ indicates start
  2820.   Angle 8     ; Specify the angle increment to 45 degrees
  2821.   Axiom FX     ; Starting character string
  2822.   F=         ; First rule:    Delete 'F'
  2823.   y=+FX--FY+     ; Change 'y' into  "+fx--fy+"
  2824.   x=-FX++FY-     ; Similar transformation on 'x'
  2825. }         ; final } indicates end
  2826.  
  2827. The standard drawing commands are:
  2828.     F Draw forward
  2829.     G Move forward (without drawing)
  2830.     + Increase angle
  2831.     - Decrease angle
  2832.     | Try to turn 180 degrees. (If angle is odd, the turn
  2833.       will be the largest possible turn less than 180 degrees.)
  2834. ~Format+
  2835.  
  2836. These commands increment angle by the user specified angle value. They
  2837. should be used when possible because they are fast. If greater flexibility
  2838. is needed, use the following commands which keep a completely separate
  2839. angle pointer which is specified in degrees.
  2840.  
  2841. ~Format-
  2842.     D    Draw forward
  2843.     M    Move forward
  2844.     \\nn Increase angle nn degrees
  2845.     /nn Decrease angle nn degrees
  2846.  
  2847. Color control:
  2848.     Cnn Select color nn
  2849.     <nn Increment color by nn
  2850.     >nn decrement color by nn
  2851.  
  2852. Advanced commands:
  2853.     !      Reverse directions (Switch meanings of +, - and \, /)
  2854.     @nnn  Multiply line segment size by nnn
  2855.       nnn may be a plain number, or may be preceded by
  2856.           I for inverse, or Q for square root.
  2857.           (e.g.  @IQ2 divides size by the square root of 2)
  2858.     [      Push.  Stores current angle and position on a stack
  2859.     ]      Pop.    Return to location of last push
  2860. ~Format+
  2861.  
  2862. Other characters are perfectly legal in command strings.  They are ignored
  2863. for drawing purposes, but can be used to achieve complex translations.
  2864.  
  2865. The characters '+', '-', '<', '>', '[', ']', '|', '!', '@', '/', '\\',
  2866. and 'c' are reserved symbols and cannot be redefined.  For example, c=f+f
  2867. and <= , are syntax errors.
  2868.  
  2869. The integer code produces incorrect results in five known instances, Peano2
  2870. with order >= 7, SnowFlake1 with order >=6, and SnowFlake2, SnowFlake3, and
  2871. SnowflakeColor with order >= 5.  If you see strange results, switch to the
  2872. floating point code.
  2873. ;
  2874. ;
  2875. ;
  2876.